Positive Definitheit selbstadjungierter Abbildung nachweisen

Question

ich habe hier ein Verständnisproblem:

Ich haben eine selbstadjungierte Abbildung h: V→V mit h(f) = f''  (2. Ableitung nach x)

Ich habe außerdem das Skalarprodukt <f | g> = \( \int\limits_{0}^{1} \) f(x)g(x) dx

Ich möchte nun prüfen, ob h positiv definit ist.

Die Lösung dieser Aufgabe gibt an, dass gelten muss <f | h(f)> > 0 für alle f ∈ V \ {0}

Warum muss das für <f | h(f)> gelten?

Die Definition von positiver Definitheit wäre doch xAx > 0 für x ohne 0 also <x | x)> bzw. im Beispiel <f | f>.

Außerdem ist <f | h(f)> ≠ <f | f>, also kann ich mir eine Umformung auch nicht erklären.

Answer 1

Die Definition von positiver Definitheit wäre doch xAx > 0 für x ohne 0 also <x | x)> bzw. im Beispiel <f | f>.

Hier schlussfolgerst du falsch, denn \(x^TAx=\langle x,Ax\rangle\).

Comments

und da jede lineare Abbildung sich als h(x) = Ax darstellen lässt,

ist es dann xAx = x h(x)

und weiters <x | h(x)>, richtig so?

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Ich empfehle dazu auch nochmal einen genauen Blick in deine Unterlagen. Das sollte da ja auch irgendwo stehen. Solche Denkfehler sind immer tückisch.

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Ja, ich dachte mir bereits, dass es eventuell in die Richtung gehe.

Vielen Dank für deine Hilfe