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ich habe hier ein Verständnisproblem:


Ich haben eine selbstadjungierte Abbildung h: V→V mit h(f) = f''  (2. Ableitung nach x)

Ich habe außerdem das Skalarprodukt <f | g> = \( \int\limits_{0}^{1} \) f(x)g(x) dx


Ich möchte nun prüfen, ob h positiv definit ist.


Die Lösung dieser Aufgabe gibt an, dass gelten muss <f | h(f)> > 0 für alle f ∈ V \ {0}

Warum muss das für <f | h(f)> gelten?

Die Definition von positiver Definitheit wäre doch xAx > 0 für x ohne 0 also <x | x)> bzw. im Beispiel <f | f>.


Außerdem ist <f | h(f)> ≠ <f | f>, also kann ich mir eine Umformung auch nicht erklären.

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Die Definition von positiver Definitheit wäre doch xAx > 0 für x ohne 0 also <x | x)> bzw. im Beispiel <f | f>.

Hier schlussfolgerst du falsch, denn \(x^TAx=\langle x,Ax\rangle\).

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und da jede lineare Abbildung sich als h(x) = Ax darstellen lässt,

ist es dann xAx = x h(x)

und weiters <x | h(x)>, richtig so?

Ich empfehle dazu auch nochmal einen genauen Blick in deine Unterlagen. Das sollte da ja auch irgendwo stehen. Solche Denkfehler sind immer tückisch.

Ja, ich dachte mir bereits, dass es eventuell in die Richtung gehe.

Vielen Dank für deine Hilfe

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