zu 1) $$ A = \left( \begin{array}{rrrrr} a_1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & a_i & \cdots & 0\\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & a_n \\ \end{array}\right) $$
Sei ei ein Basisvektor mit einer 1 an der i-ten Stelle, sonst 0 (in der Ebene e1 = (1 0)T, e2 = (0 1)T). Dann gilt:
$$ x = \sum_{i = 1}^n \lambda_i e_i, \lambda_i \in \mathbb{R} \text{ und } x^Te_i = \lambda_i \\ Ae_i = a_ie_i \\ \Rightarrow x^TAx = x^T(A \cdot \sum_{i = 1}^n \lambda_i e_i) = x^T \sum_{i = 1}^n \lambda_i Ae_i = x^T \sum_{i = 1}^n \lambda_ia_ie_i = \sum_{i = 1}^n \lambda_ia_ix^Te_i = \sum_{i = 1}^n a_i\lambda_i^2 > 0 $$
Da \(\lambda_i^2, a_i > 0\) gilt. (die lambdas könnten auch 0 sein, dennoch muss es mindestens eines geben das größer 0 ist, sonst wäre x = 0 was per Definition ausgeschlossen ist)
zu 2)
Es gilt für \( x \in \mathbb{R}^n, Q \in \mathbb{R}^{n \times n}: (x^TQ^{-1})^T = (x^TQ^T)^T = Qx \) mit \( Qx \in \mathbb{R}^n\)
Nun gilt für jedes x: \( xQ =: y \Rightarrow 0 < y^TAy = x^TQ^{-1}AQx \) (man muss sich noch überlegen, dass y ungleich 0 ist, was jedoch aus orthogonal -> regulär und x nicht 0 folgt)
