Eigenschaften des Skalarprodukts zeigen: Bilinearität, Symmetrie, positive Definitheit

Question

Aufgabe:

Für \( u, v \in \mathbb{R}^{n} \) definieren wir das Skalarprodukt \( \langle u, v\rangle:=u^{T} v . \) Zeige folgende Eigenschaften:

(i) \( \left\langle u_{1}+\lambda u_{2}, v\right\rangle=\left\langle u_{1}, v\right\rangle+\lambda\left\langle u_{2}, v\right\rangle \)
\( \left\langle u, v_{1}+\mu v_{2} v\right\rangle=\left\langle u, v_{1}\right\rangle+\mu\left\langle u, v_{2}\right\rangle \) (Bilinearität)

(ii) \( \langle u, v\rangle=\langle v, u\rangle \) (Symmetrie)

(iii) \( \langle u, u\rangle \geq 0 \) und \( \langle u, u\rangle=0 \Leftrightarrow u=0 \) (positive Definitheit)

Answer 1

u^T v bedeutet doch die Zeile der u-Komponenten mal Spalte der v-Komponenten

also u1*v1+u2*v2*u3*v3+ .....+ un*vn.

Also nicht, wie du es vielleicht kennst, nur die Summe von dreien, sondern von n-Stück.

Beweis z. B. so:

Sei u=(u1,...un)   und v=(v1,...,vn)

dann gilt <u,v> = u1*v1 + .... + un*vn

                         = v1*u1 +       + vn * un

                        = < v,u>  so würde man wohl (ii) beweisen

Comments

Aha, ja klar,

(i) dürfte ich demnach selber schaffen, aber was genau will (iii) zeigen? Dort kommt das v ja gar nicht einmal vor?

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d.h.  1.    für jedes u gilt <u,u> größer oder gleich null

ist richtig, weil dann ja alles Quadrate addiert werden

und  2. wenn es gleich null ist, dann nur falls u der Nullvektor ist

auch das sieht man an der Summe der Quadrate,

wenn null raus kommt, müssen alle Komponenten

Nullen gewesen sein.