Skalarprodukt auf R^3 durch Matrix gegeben. Induzierte Norm von (2,-1,0)^{T} bestimmen?

Question

leider bin ich bei der unten gezeigten Aufgabe etwas überfragt, was gemacht werden muss. Laut Musterlösung ist die Lösung Wurzel 10.

Skalarprodukt auf R3 mit Matrix gegeben. Induzierte Norm von (2,-1,0)^{T} bestimmen?

Answer 1

wahrscheinlich ist mit der Matrix, die sogannte Gramsche Matrix gemeint. Ist diese Matrix \(M\), dann ist das Skalarprodukt zweier Vektoren \(x\) und \(y\) definiert als $$<x,y> = x^T \cdot M \cdot y$$ Somit ist die Norm von \(x= \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0\end{pmatrix}^T\) $$\left\lVert x\right\rVert = \sqrt{<x,x>} = \sqrt{x^T \cdot M \cdot x} = \sqrt{10}$$

Comments

Habe es jetzt auch nach langem suchen im Skript wieder gefunden.

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noch eine kurze Frage, wie berechne ich denn da das Produkt, weil wenn ich ganz normal von links nach rechts erst x^T * M rechne komme ich auf (3 0 -1), dass dann nochmal mal x, dann komme ich auf Wurzel 6?

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$$x^T \cdot M = \begin{pmatrix}2& -1& 0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1& -1& 0\\ -1& 2& 1\\ 0& 1& 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3& \colorbox{#ffff00}{-4}& -1\end{pmatrix}$$ Ich vermute, Du hast bei der Berechnung des mittleren Elements ein Vorzeichen unterschlagen: $$2\cdot(-1) + (-1)\cdot 2 + 0\cdot 1 = -4$$ und $$\left( x^T \cdot M \right) \cdot x = \begin{pmatrix}3& -4& -1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}2\\ -1\\ 0\end{pmatrix} = 10$$

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vollkommen richtig. Danke dir! :)

Answer 2

das Skalarprodukt kannst du mithilfe einer symmetrischen, positiv definiten Matrix A wie folgt definieren:

<x,y>= x^T A y , denn es sind dann alle Axiome eines Skalarprodukt erfüllt.

Die daraus induzierte Norm eines Vektors ist einfach √(<x,x>)