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Matrixnormen bestimmen und beweisen
Für die gegebene Aufgabe betrachten wir zwei Teile: zuerst die Darstellung und Bedeutung von \(||A||\) als maximale Norm von \(||Ax||\) über alle Einheitsvektoren \(x\), und dann zeigen wir, dass eine durch die Vektornorm \(||\cdot||\) induzierte Matrixnorm \(|||\cdot|||\) tatsächlich eine Norm auf \(\mathbb{R}^{n \times n}\) ist.
Teil 1: Maximale Norm von \(||Ax||\) über Einheitsvektoren
Wir betrachten \(||A|| = \max_{||x||=1} ||Ax||\), wobei \(A \in \mathbb{R}^{n \times n}\) und \(x \in \mathbb{R}^n\).
Diese Ausdrucksweise definiert die Matrixnorm \(||A||\) als das Maximum der Norm von \(Ax\), wobei \(x\) ein Einheitsvektor ist. Das bedeutet, wir suchen das maximale "Strecken" oder "Verzerren" eines Einheitsvektors durch die Anwendung der Matrix \(A\). Die Norm \(||\cdot||\) auf der rechten Seite ist eine Vektornorm, üblicherweise die Euklidische Norm, aber die Definition funktioniert auch mit anderen Normen.
Teil 2: \(||| \cdot |||\) ist eine Norm auf \(\mathbb{R}^{n \times n}\)
Um zu zeigen, dass \(||| . |||\) eine Norm auf \(\mathbb{R}^{n \times n}\) ist, müssen wir nachweisen, dass die folgenden drei Eigenschaften erfüllt sind:
1.
Positive Definitheit: \(|||A||| > 0\) für alle \(A \neq 0\) und \(|||0||| = 0\).
2.
Homogenität (Skalierung): Für jede Skalare \(\alpha\) und jede Matrix \(A\) gilt \(|||\alpha A||| = |\alpha| \cdot |||A|||\).
3.
Dreiecksungleichung: Für alle Matrizen \(A, B\) gilt \(|||A + B||| \leq |||A||| + |||B|||\).
Wenn \(||\cdot||\) eine Vektornorm ist, induziert sie eine Matrixnorm \(|||A||| = \max_{||x||=1} ||Ax||\), die diese Eigenschaften erfüllt:
1.
Positive Definitheit: Wenn \(A \neq 0\), dann gibt es mindestens einen Vektor \(x\) (mit \(||x||=1\)), für den \(Ax \neq 0\), was \(||Ax|| > 0\) bedeutet. Also ist \(|||A||| > 0\). Wenn \(A=0\), dann ist \(Ax=0\) für alle \(x\), was \(|||0||| = 0\) bedeutet.
2.
Homogenität:
\(|||\alpha A||| = \max_{||x||=1} ||\alpha Ax|| = \max_{||x||=1} |\alpha| \cdot ||Ax|| = |\alpha| \cdot |||A|||\)
3.
Dreiecksungleichung: Für alle \(x\) mit \(||x||=1\),
\(|||A + B||| = \max_{||x||=1} ||(A + B)x|| = \max_{||x||=1} ||Ax + Bx|| \leq \max_{||x||=1} (||Ax|| + ||Bx||) \leq \max_{||x||=1} ||Ax|| + \max_{||x||=1} ||Bx|| = |||A||| + |||B|||\)
Zusammengefasst: Da \(||| \cdot |||\) diese drei Eigenschaften erfüllt, ist es eine Norm auf \(\mathbb{R}^{n \times n}\), die durch die gegebene Vektornorm \(||\cdot||\) induziert wird.
