Was ist eine induzierte Operation?

Question

In der Vorlesung haben wir Untervektorräume definiert.

V ist K-Vektorraum, W⊆V Untervektorraum (UVR)

1. W ≠ ∅

2. v,w ∈ W ⇒ v+w ∈ W

3. v ∈ W, λ ∈ K ⇒ vλ ∈ W

Danach folgte eine Bemerkung:

Wegen 2. und 3. erhalten wir induzierte Operationen.

Was genau sind induzierte Operationen?

Und wenn ich zeigen soll, dass W ein UVR von V ist, reicht es dann die drei Dinge zu zeigen oder muss ich noch mehr zeigen?

Answer 1

Das Wort "induziert" bedeutet in der Mathematik immer, das es sich um etwas handelt, was durch die Definition des Objekts bereits auf der Hand liegt.

Also dadurch, dass du W als Untervektorraum von (V, +) definierst, ist in W die Operation + induziert, denn damit bildet W auf jeden Fall selbst einen Vektorraum. Du kannst natürlich auf W auch noch ganz andere Operationen definieren, aber um zu prüfen, ob W bezüglich diesen Operationen einen Vektorraum darstellt, kann nicht einfach auf die Definition als Untervektorraum verwiesen werden.

 

Und, ja, da das die definierenden Eigenschaften eines Untervektorraums sind, müssen nur diese drei Eigenschaften gezeigt werden.

Manchmal fordert man statt der ersten Bedingung auch, dass der Nullvektor enthalten ist. Man kann aber zeigen, dass beide Formulierungen äquivalent sind.

Nimmt man nämlich deine drei Bedingungen, dann folgt aus 1.) dass es mindestens ein Element w gibt.

Mit w ist dann wegen 3.) auch (-1)*w=-w Element von W.

Wegen 2.) ist dann auch w+(-w) = 0 Element von W.

Die andere Richtung ist natürlich völlig klar, wenn 0 Element von W ist, dann ist W offensichtlich nicht leer.