Skalarprodukt. Zeige: h((a1,a2),(b1,b2)):= a1b1+a1b2+a2b1+a2b2 ist bilinear und symmetrisch

Question

Im Folgenden werden wir die Vektoren \( \vec{v}, \vec{w} \) aus \( \mathbb{R}^{2} \) als Zeilenvektoren verstehen, die entsprechende Darstellung als Spaltenvektor \( \vec{v}^{t} \) erfolgt durch Transponieren.

a) Zeigen Sie, dass die durch \( f\left(\left(a_{1}, a_{2}\right),\left(b_{1}, b_{2}\right)\right):=a_{1} b_{1}+a_{1} b_{2}+a_{2} b_{2} \) definierte Abbildung bilinear ist. Der Beweis wird sehr einfach, wenn es Ihnen gelingt \( f(\vec{v}, \vec{w}) \) in der Form \( \vec{v} \cdot A \cdot \vec{w}^{t} \) zu schreiben, wobei \( A \) eine geeignete Matrix (welche?) ist und \( \cdot \) für die Matrixmultiplikation steht.

b) Begründen Sie, dass \( f \) nicht symmetrisch ist (Gegenbeispiel genügt).

c) Zeigen Sie, dass für beliebige \( A \in M(m \times n, \mathbb{R}) \) und \( B \in M(n \times k, \mathbb{R}) \) die Identität \( (A B)^{t}=B^{t} A^{t} \) gilt. Folgern Sie, dass für jede symmetrische Matrix \( A \in M(2 \times 2, \mathbb{R}) \) (das bedeutet \( A^{t}=A \) ) die Funktion \( g(\vec{v}, \vec{w}):=\vec{v} A \vec{w}^{t} \) symmetrisch ist.

d) Die Funktion \( h\left(\left(a_{1}, a_{2}\right),\left(b_{1}, b_{2}\right)\right)=a_{1} b_{1}+a_{1} b_{2}+a_{2} b_{1}+a_{2} b_{2} \) ist bilinear und symmetrisch. Begründen Sie, dass \( h \) kein Skalarprodukt ist.

Skalarprodukt Beweis zeigen:

h((a1,a2),(b1,b2)):=a1b1+a1b2+a2b1+a2b2 ist bilinear und symmetrisch aber kein Skalarprodukt.

Comments

Du musst hier bei d) eure Definitionen abschreiben und dann auf die Formeln anwenden, um die verlangen Eigenschaften zu zeigen oder zu widerlegen.

Skalarprodukt. Zeige: h((a1,a2),(b1,b2)):= a1b1+a1b2+a2b1+a2b2 ist bilinear und symmetrisch

1. h ist symmetrisch: zu zeigen h((a1,a2),(b1,b2)) = h((b1,b2),(a1,a2))

Man berechnet nach Definition:

h((b1,b2),(a1,a2))= b1a1 + b1a2 + b2a1 + b2a2         |Kommutativität von + und * benutzen

= a1b1+a1b2+a2b1+a2b2  = h((a1,a2),(b1,b2)      qed.

2. h ist bilinear: vermutlich zu zeigen (Def. kontrollieren!) h(k(a1,a2),m(b1,b2)) = km*h((a1,a2),(b1,b2) für k,m Element R.

h(k(a1,a2),m(b1,b2)) = h((ka1,ka2),(mb1,mb2)) 

= ka1mb1 + ka1mb2 + ka2mb1 + ka2mb1              |Kommutativgesetz und Ditributivgesetz in R

= km*(a1b1+a1b2+a2b1+a2b2) = km*h((a1,a2),(b1,b2)  qed.

3. Definition von Skalarprodukt abschreiben und ein Gegenbeispiel suchen für eine Eigenschaft, die noch nicht bewiesen wurde.

Answer 1

Mit Matrizen sollte das Ganze noch einfacher gehen als in meinem Kommentar oben.

a) A = ((1,1)(0,1))

(a1,a2) *A = ((a1, a1 + a2)) (b1,b2) = a1b1 + (a1+a2)b2 = a1b1 + a1b2 + a2b2

Vermutlich habt ihr irgendwo einen Satz, der besagt, dass solche Matrixabbildungen bilinear sind.

b)  f((a1,a2),(b1,b2)):= a1b1+a1b2+a2b2

 f((1,2),(3,4)):= 3+4+8= 15

 f((3,4),(1,2)):= 3+6+8 = 17
Da 15≠17 gilt: f ist nicht symmetrisch.

Bei d) wäre dann diese Matrix übrigens ((1,1)(1,1)).