Z.Z.: ist ⟨ (a1,a2) , (b1,b2) ⟩ : = 4a1b1 -3a1b2 - 3a2b1 + 5a2b2 ein Skalarproduckt ? .... Wie?

Question

Aufgabe:

Ich soll zeigen das die Funktion <  ,  > : ℝ² x ℝ² → ℝ ein Skalarprodukt ist.

gegeben ist

< (a₁,a₂),(b₁,b₂) > := 4a₁b₁ -3a₁b₂ - 3a₂b₁ + 5a₂b₂

Problem/Ansatz:

Habe nur die Vermutung das ich das irgendwie über die Definition machen soll.

Das Skalarprodukt ist so definiert das
(i) beide Argumente Linear sind
(ii) ist symmetrisch 
(iii) ist positiv definit

Nur finde ich damit keinen Ansatz. Hinzu kommt das ich verwirrt bin, da meiner Meinung nach

< (a1,a2),(b1,b2) > = a1b1 + a2b2

sein müsste !?


Kann mir irgendwer das erklären oder mir ein Beispiel für ne ähnliche Aufgabe zeigen ?

Answer 1

Ich habe Dir hier mal ein Beispiel. Du musst genau die drei Dinge wie oben beschrieben nachweisen:

Comments

Wow, cool, vielen dank :)

Habe es jetzt aufgeschrieben, für positiv Definit bin ich mir nicht ganz sicher

ob das als Begründung schon reicht warum das ≥ 0 ist,

hier einfach mal meine Lösung:

Symmetrie:
( z.Z.  ⟨a1,a2),(b1,b2)⟩ = ⟨(b1,b2),(a1,2)⟩ )

⟨ (a1,a2),(b1,b2)⟩ = 4a1b1 - 3a1b2 - 3a2b1 + 5a2b2
                            = 4b1a1 - 3b2a1 - 3b1a2 + 5b2a2
                            = 4b1a1 - 3b1a2 - 3b2a1 + 5b2a2

                            = ⟨(b1,b2),(a1,a2)⟩

ist also symmetrisch
 

positiv Definit:
( z.Z. ⟨ x , x ⟩   ≥ 0 für alle x ≠ 0 )

⟨ (a1,a2 ⟩ ,(a1,a2) ⟩ = 4a1a1 - 3a1a2 - 3a2a1 + 5a2a2
                               = 4a1² -3a1a2 - 3a2a1 + 5a2²
                               = 4(a1)² - 6a1a2 + 5(a2)²

                               ≥ 0

ist also positiv Definit
 

Bilinearität:

⟨ (c1,c2) , α(a1,a2) + β(b1,b2) ⟩ =  4c1(α(a1)+β(b1))  - 3c1(α(a2)+β(b2))
                                                    - 3c2(α(a1)+β(b1))  + 5c2(α(a2)+β(b2))
                                          =  4α(c1)(a1) + 4β(c1)(b1) - 3α(c1)(a2) - 3β(c1)(b2)
                                            - 3α(c2)(a1) - 3β(c2)(b1) + 5α(c2)(a2) + 5β(c2)(b2)
                                          = 4α(c1)(a1) - 3α(c1)(a2) - 3α(c2)(a1) + 5α(c2)(a2) +   
                                             4β(c1)(b1) - 3β(c1)(b2) - 3β(c2)(b1) + 5β(c2)(b2)

                                         = α(4(c1)(a1) - 3(c1)(a2) - 3(c2)(a1) + 5(c2)(a2)) +  
                                            β(4(c1)(b1) - 3(c1)(b2) - 3(c2)(b1) + 5(c2)(b2))

                                        = α⟨ (c1,c,2),(a1,a2) ⟩ + β⟨ (c1,c2),(b1,b2) ⟩

ist also Bilinear

 

 

Die Funktion erfüllt also die Bedingungen eines Skalarproduktes.

     

---

Zu Deiner positiven Definitheit:

= 4(a1)² - 6a1a2 + 5(a2)²= (2a₁-3/2a₂)²+(11/4)a₂² ≥ 0

So sieht man es leichter. (Nur als Vorschlag)

---

Habe es jetzt selber nochmal umgeformt, war gar nicht  so einfach.

Hat über 30 Minuten gebraucht bis ich die Idee hatte ^^

aber nochmal vielen Dank für die Hilfe.

Meine Frage ist dann damit wohl vollständig beantwortet :-)

positiven Definitheit:

   4a1² -3a1a2 -3a2a1 +5a2²
= 4(a1)² - 6a1a2 + 5(a2)²
= 4(a1)² - 6a1a2 + (9/4)(a2)² + (11/4)(a2)²
= 4( a1 - (3/4)(a2))² + (11/4)(a2)²