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Die Tangente einer Funktion \(f(x)\) im Punkt \(x_0\) lautet:$$t(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)$$
Wenn eine Funktion von mehreren Variablen abhängt, also von \(\vec x=(x_1;x_2;\ldots;x_n)\), wird aus der Tangente eine Hyperebene, aus den Variablen werden Vektoren und aus der Ableitung wird der Gradient:$$h(\vec x)=f(\vec x_0)+\operatorname{grad}f(\vec x_0)\cdot(\vec x-\vec x_0)$$
Wir machen mal ein Beispiel. Die Hyperebene an die Funktion$$f(x_1;x_2)=x_1^2x_2$$an der Stelle \(\vec x_0=(1;2)\) lautet:
$$h(\vec x)=f(1;2)+\binom{2x_1x_2}{x_1^2}_{(x_1;x_2)=(1;2)}\cdot\left(\binom{x_1}{x_2}-\binom{1}{2}\right)$$$$\phantom{h(\vec x)}=2+\binom{4}{1}\cdot\binom{x_1-1}{x_2-2}=2+4(x_1-1)+(x_2-2)$$$$\phantom{h(\vec x)}=4x_1+x_2-4$$
