Was ist "Niveau-Mannigfaltigkeit"? Und wie berechnet man den Tangentialraum?

Question

Aufgabe:

Wir betrachten die Funktion \( f(x, y, z)=\frac{1}{2} x^{2}+y^{2}-z^{2} . \) Man zeichne sorgfältig die Niveau-Mannigkaltigkeit \( M=f^{-1}(0) \) und bestimme den Tangentialraum an \( M \) im Punkte \( (3 \sqrt{2}, 4,5) \).

Ansatz/Problem:

Man hat gesagt, ich soll das ableiten, also kommt das raus:  "∇f(x,y,z)= x ,2y, -2z". aber was kommt jetzt?

Comments

Das ist doch in der Fragestellung definiert. Niveau-Mannigfaltigkeit M = f^{-1} ( 0) .

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Ich sehe das, aber ich kapiere immer noch nicht was ich da machen soll. soll ich die funktion in einen bruch stellen als 1/funktion?? und was dann

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In diesem Fall \( M = f^{-1}(0) \) stimmt die Niveau-Mannigfaltigkeit mit der Nullstellenmenge des Polynoms überein. Mit anderen Worten ist die Nullstellenmenge des Polynoms eine spezielle Niveau-Mannigfaltigkeit, nämlich das Urbild der Null.

Für \( a \neq 0 \) wäre \( M_a = f^{-1}(a) \) eine weitere Niveau-Mannigfaltigkeit, nämlich das Urbild von \( a \).

Für \( a = 0 \) wäre dann \( M = M_0 \).