Niveaulinie, Tangentialraum und Tangentialebene bestimmen

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f: ℝ²→ℝ mit f(x,y) = (x²+y²) e^x²+y² .

(i) Zuerst soll die Form der Niveaulinie N_c (f) für c∈ℝ bestimmt werden.

(ii) Sei a = (1/ sprt(2), 1/ srqt(2)) und c = f(a). Hierbei soll der Tangentialraum und die Tangentialebene an N_c (f) im Punkt a bestimmt werden.

(iii) Hier soll die Tangentialebene an den Graphen von f im Punkt a bestimmt werden.

Mein Ansatz:

(i) N_c (f) = {(x,y): (x²+y²) e^x²+y² = c}

Durch Umformungen erhalte ich Nc (f) = {(x,y): ln (x²+y²) = x²+y²}. Ich bin mir allerdings bei meinem Ergebnis sehr unsicher.

(ii) c=f(a) = 0

Damit erhalte ich für N_c (f) = {(x,y): (x²+y²) e^x²+y² = 0} und das ist genau dann der Fall, wenn entweder x²+y² = 0 oder in Bezug auf die Exponentialfunktion x²+y² = 1.

Aber auch hier bin ich mir sehr unsicher und ich weiß auch nicht, wie ich weiter machen soll.

Über Hilfe wäre ich sehr dankbar!

Comments

f(a)≠0, sondern f(a)=e

Answer 1

Hallo

hallo wie du auf deine Umformung kommst ist unklar,  wenn du umformst mit ln hast du doch  (x^2+y^2)*ln(x^2+y^2)=ln(c) aber wie das helfen kann seh ich nicht

1.für alle x^2+y^2=r^2 ist  (x^2+y^2)*exp( x^2+y^2)=const=r^2*exp(r^2) d.h. die Höhenlinien sind Kreise mit Radius r wenn c=r^2*exp(r^2)

jetzt x^2+y^2=1 also r=1

damit solltest du die Tangente leicht finden können .

Wie man die Tangentialebene an die Flache z=f(x,y) findet hattet ihr sicher?

Gruß lul