Aloha :)
Nach der Kettenregel beträgt die Änderung \(d\vec x\) des Vektors \(\vec x(u,v)\) bei kleinen Änderungen der Variablen um \(du\) bzw. \(dv\):$$d\vec x=\frac{\partial\vec x}{\partial u}\,du+\frac{\partial\vec x}{\partial v}\,dv$$
Die lokale Änderung an der Stelle \((u;v)\) geschieht also entlang der Vektoren \(\frac{\partial\vec x}{\partial u}\) und \(\frac{\partial\vec x}{\partial v}\). Damit haben wir zwei Richtungsvektoren der gesuchten Tangentialebene und können daraus einen Normalenvektor \(\vec n\) bestimmen:$$\vec n(u;v)=\frac{\partial\vec x}{\partial u}\times\frac{\partial\vec x}{\partial v}=\begin{pmatrix}\frac{-1}{2u\sqrt u}\\[1ex]0\\\frac{1}{2\sqrt{uv}}\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\\frac{1}{2\sqrt{v}}\\[1ex]\frac{-\sqrt u}{2\sqrt{v^3}}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{-1}{4v\sqrt u}\\[1ex]\frac{-1}{4uv\sqrt{v}}\\[1ex]\frac{-1}{4u\sqrt{uv}}\end{pmatrix}=\frac{-1}{4uv\sqrt{uv}}\begin{pmatrix}u\sqrt v\\[1ex]\sqrt u\\[1ex]v\end{pmatrix}$$
Den Punkt \(P(1;1;1)\) trifft \(\vec x(u;v)\) an der Stelle \((u;v)=(1;1)\).
Daher lautet die Gleichung der gesuchten Tangentialebene:$$E\colon\;\vec n(1;1)\cdot\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\vec n(1;1)\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\quad\implies$$$$E\colon\; x_1+x_2+x_3=3$$
Die Flächennormale ist der auf die Länge \(1\) normierte Normalenvektor:$$\vec n^0(1;1)=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$$
