Hallo,
Als Gleichung für die Tangentialebene habe ich raus; z = xy+ (z0 - x0 y+ x0 y0 )
Das scheint mir aber nicht zu stimmen.
Ja - kann gar nicht stimmen, weil der Term \(xy\) darin vorkommt. Und damit ist das keine Ebene mehr!
Der Normalenvektor \(\vec{n}_t\) einer Tangentialeben ist im Allgemeinen$$\vec{n}_{t} = \begin{pmatrix} f_x\\f_y \\ -1 \end{pmatrix} $$also hier$$\vec{n}_{t} = \begin{pmatrix} y_0\\x_0 \\ -1 \end{pmatrix} $$Somit ist die Tangentialebene \(E_t\)$$\begin{aligned}E_t: \quad \begin{pmatrix} y_0\\x_0 \\ -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y \\ z \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} y_0\\x_0 \\ -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_0\\y_0\\ x_0y_0\end{pmatrix} \\ y_0x + x_0y - z &= x_0y_0\end{aligned}$$
... und gezeigt werden, dass diese mit der Fläche z = f(x,y) zwei geraden gemeinsam hat.
Eine Gerade durch den Punkt \((x_0,\,y_0,\,x_0y_0)\) sähe ganz allgemein so aus:$$g: \quad \vec{x} = \begin{pmatrix} x_0\\y_0\\ x_0y_0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a\\b\\ c \end{pmatrix} t$$Der Richtungsvektor muss orthogonal auf \(n_t\) stehen, damit \(g\) in \(E_t\) liegt. D.h. sein Skalarprodukt mit \(n_t\) ist \(=0\):$$y_0a + x_0b - c =0 \implies c = y_0a + x_0b$$Damit diese Gerade auch Teil von \(f(x,y)\) ist, muss sie für jeden Wert von \(t\) die Funktion erfüllen:$$\begin{aligned}xy&= z\\ (x_0 + at)(y_0 + bt) &= x_0y_0 + ct \\ (x_0 + at)(y_0 + bt) &= x_0y_0 + (y_0a + x_0b)t \\ x_0y_0 + x_0bt + ay_0t + abt^2 &= x_0y_0 + y_0at + x_0bt \\ x_0bt + ay_0t + abt^2 &= y_0at + x_0bt &|\, b=0\\ ay_0t &= y_0at \end{aligned} $$damit die Gleichung für jedes \(t\) aufgeht, muss der Koeffizient vor \(t^2\) gleich \(0\) sein, da so ein Term nur einmal vorkommt. \(a\) kann anschließend beliebig gewählt werden. Ich setze \(a=1\) - also ist $$\implies a=1, \quad b=0, \quad c = y_0$$und die Gerade:$$g_1:\quad \vec{x} = \begin{pmatrix} x_0\\y_0\\ x_0y_0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1\\0 \\ y_0 \end{pmatrix} t$$Setzt man oben statt dessen \(a=0\) bekommt man als zweite Lösung$$g_2:\quad \vec{x} = \begin{pmatrix} x_0\\y_0\\ x_0y_0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0\\1 \\ x_0 \end{pmatrix} t$$
ich habe versucht, dass graphisch darzustellen. Oben sind die Höhenlinien der Funktion \(f(x,y)=xy\) eingezeichnet. Die roten stehen für negative Werte. Die Höhenlinien haben jeweils einen Abstand von \(\Delta f=1\)
Die schwarze horizontale Gerade ist die Projektion von \(g_1\) in die XY-Ebene. Die Punkte auf der Geraden geben ihre Steigung an. Zwei benachbarte Punkte haben immer einen Höhenunterschied von \(\Delta z=1\). Wenn Du nun den Punkt (inititial bei \((1;\,1)\)) verschiebst, so siehst Du dass die Punkte auf der Geraden immer den gleichen Abstand wie die Schnittpunkte der Geraden mit den Höhenlinien haben. \(g_1\) liegt also in der Funktionsfläche.
Gruß Werner
