Aloha :)
Die Tangente an eine Kurve einer Veränderlichen lautet:$$t(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)$$Wenn die Funktion \(f\) von mehreren Variablen abhängt, wird aus der "Tangente" eine (Hyper-)Ebene. Die Ableitung wird druch den Gradienten ersetzt:$$t(\vec x)=f(\vec x_0)+\operatorname{grad}f(\vec x_0)\cdot(\vec x-\vec x_0)$$Wir benötigen also den Funktionswert und den Gradienten von \(f\) an der Stelle \(\vec x_0=(2|-2)\).
$$f(x,y)=x^2y+2x^2-4xy-8x+4y+8$$$$\operatorname{grad}f(x,y)=\binom{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial y}}=\binom{2xy+4x-4y-8}{x^2-4x+4}=\binom{2(x-2)(y+2)}{(x-2)^2}$$Speziell an dem Punkt \(\vec x_0=(2|-2)\) gilt:$$f(2;-2)=0\quad;\quad\operatorname{grad}f(2;-2)=\binom{0}{0}$$
Das liefert eine sehr einfache Tangentialebene:$$t(\vec x)=f(2;-2)+\operatorname{grad}f(2;-2)\cdot\left(\binom{x}{y}-\binom{2}{-2}\right)=0+\binom{0}{0}\cdot\binom{x-2}{y+2}=0$$
