Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangentialebene der Funktion f an der Stelle (x_{0}, y_{0})=(2,2) .

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion in zwei Veränderlichen \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) mit
\( f(x, y)=y \cdot x^{2}-2 \cdot x^{2}-4 \cdot y \cdot x+8 \cdot x+4 \cdot y-8 . \)
Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangentialebene der Funktion \( f \) an der Stelle \( \left(x_{0}, y_{0}\right)=(2,2) \).
\( \begin{array}{l} f_{x}(x, y)= \\ f_{y}(x, y)= \\ f\left(x_{0}, y_{0}\right)= \\ f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)= \\ f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)= \end{array} \)
Gleichung der Tangentialebene:
\( E: z= \)

Könnte mir jemand die Lösung sagen?

Answer 1

Aloha :)

Die Tangentialebene an \(f(x;y)\) am Punkt \((x_0;y_0)\) hat die Gleichung:$$z=f(x_0;y_0)+\operatorname{grad}f(x_0;y_0)\cdot\binom{x-x_0}{y-y_0}$$

Wir benötigen also:$$f_x(x;y)=2xy-4x-4y+8=2(x-2)(y-2)$$$$f_y(x;y)=x^2-4x+4=(x-2)^2$$

Wenn wir nun den Punkt \((x_0;y_0)=(2;2)\) einsetzen, verschwindet alles:$$f(2;2)=0\quad;\quad f_x(2;2)=0\quad;\quad f_y(2;2)=0$$wodurch die Berechnung der Tangentialebene im Punkt \((2;2)\) recht einfach wird:$$z=0$$Die gesuchte Tangentialebene ist also die \(xy\)-Ebene des Koordinatensystems.