0 Daumen
270 Aufrufe

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion in zwei Veränderlichen \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( f(x, y)=x^{2} y-2 x^{2}-4 x y+8 x+4 y-8 . \)

Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangentialebene der Funktion \( f \) an der Stelle \( \left(x_{0}, y_{0}\right)=(1,1) \).

Lösung + Lösungsweg. Danke.

Avatar von

2 Antworten

0 Daumen
 
Beste Antwort

Aloha :)

Die Gleichung der Tangentialebene an eine Funktion$$f(x;y)=x^2y-2x^2-4xy+8x+4y-8$$im Punkt \((x_0;y_0)\) lautet allgemein:$$z=f(x_0;y_0)+\operatorname{grad}f(x_0;y_0)\cdot\binom{x-x_0}{y-y_0}$$Speziell für den Punkt \((x_0;y_0)=(1;1)\) ermitteln wir:$$\;\;\,f(x_0;y_0)=-1$$$$\left.\begin{array}{l}\frac{\partial f(1;1)}{\partial x}=\left(2xy-4x-4y+8\right)_{(1;1)}=2\\[2ex]\frac{\partial f(1;1)}{\partial y}=\left(x^2-4x+4\right)_{(1;1)}=1\end{array}\quad\right\}\implies\operatorname{grad}f(1;1)=\binom{2}{1}$$Das heißt für die gesuchte Tangentialebene:$$z=-1+\binom{2}{1}\binom{x-1}{y-1}=-1+2(x-1)+(y-1)=2x+y-4$$$$E_t\colon\;2x+y-z=4$$

Avatar von 152 k 🚀

Vielen Dank!!!!

0 Daumen

Hallo

wie man die Gleichung der Tangentialebene  aus fx und fy  an den Stellen bestimmt hattet ihr doch sicher, sonst sieh in wiki unter Tangentialebene nach. die Ableitungen können doch wohl keine Schwierigkeit machen? z.B. fx(1,1)=2

Wo scheiterst du denn?

Avatar von 108 k 🚀

Danke. Ich habs

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community