Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangentialebene der Funktion f an der Stelle (x_{0}, y_{0})=(2,-1) .

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion in zwei Veränderlichen \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) mit

\( f(x, y)=x^{2} y-x^{2}+4 x y-4 x+4 y-4 . \)
Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangentialebene der Funktion \( f \) an der Stelle \( \left(x_{0}, y_{0}\right)=(2,-1) \).

Kann mir hier jemand die Lösung sagen?

Answer 1

Aloha :)

Die Gleichung der Tangentialebene im Punkt \((x_0;y_0)\) lautet allgemeint:$$t(x;y)=f(x_0;y_0)+\operatorname{grad}f(x_0;y_0)\cdot\binom{x-x_0}{y-y_0}$$Speziell im Punkt \((2;-1)\) heißt das:$$t(x;y)=f(2;-1)+\operatorname{grad}f(2;-1)\cdot\binom{x-2}{y+1}$$

Die Rechnung kriegst du bestimmt alleine hin. Hier zur Kontrolle:$$t(x;y)=-32+\binom{-16}{16}\binom{x-2}{y+1}=16\cdot(1-x+y)$$

Answer 2

Berechne die Jacobi Matrix. Die Spalten jener spannen die Tangentialebene auf (durch den Ursprung), welche du jetzt nur noch in den Punkt \((2, -1)\) verschieben musst.