Bestimmen Sie eine Diagonalmatrix D sowie Transformationsmatrizen V, V −1, sodass D = V −1AV.

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Matrix

A= $$\begin{pmatrix} 2 & 3 & 3 \\ -5 & -8 & -5 \\ 5 & 7 & 4  \end{pmatrix}$$

Bestimmen Sie eine Diagonalmatrix D sowie Transformationsmatrizen V, V −1, sodass D = V −1AV.

Problem/Ansatz:

Ich hab leider gar nicht verstanden wie das funktionieren soll. Kann mir bitte jemand helfen und es ausführlich erklären, damit ich es verstehe.

Answer 1

Zusammenfassung

https://www.geogebra.org/m/BpqJ28eP#material/upUZg79r

A:= {{2,3,3},{-5,-8,-5},{5,7,4}}

D enthält die Eigenwerte von A in der Diagonalen

\(\left(\begin{array}{rrrr}λ=&-3&\left(\begin{array}{rrr}5&3&3\\-5&-5&-5\\5&7&7\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\\end{array}\right) = 0\\λ=&-1&\left(\begin{array}{rrr}3&3&3\\-5&-7&-5\\5&7&5\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\\end{array}\right) = 0\\λ=&2&\left(\begin{array}{rrr}0&3&3\\-5&-10&-5\\5&7&2\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\\end{array}\right) = 0\\\end{array}\right)\)

und

V Spalten aus Eigenvektoren

\(V \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}0&-1&1\\-1&0&-1\\1&1&1\\\end{array}\right)\)