Bestimmen Sie für die komplexe Matrix A eine unitäre Matrix Q sowie eine Diagonalmatrix D, sodass A=Q^{T}*D*Q

Question

ich habe folgende Matrix:

A= (1  2  1

      2  4  2

      1  2  1)

Aufgabenstellung steht im Titel. Das Q^{T} soll das komplex transponiert konjugierte sein (wusste leider nicht wie ich das eingebe).

Was ich bereits gemacht habe:

Berechnung der Eigenwerte (x1/2=0, x3=6)

Berechnung der Eigenvektoren (-2,1,0), (-1,0,1),(1,2,1)

Berechnung der normierten Eigenvektoren:

(-2/Wurzel(5), 1/Wurzel(5), 0),  (-1/Wurzel(2), 0, 1/Wurzel(2)),  (1/Wurzel(6), 2/Wurzel(6), 1/Wurzel(6))

Jetzt habe ich durch diese normierten EV die Matrix Q gebildet und diese dann transformiert. Die Matrix D habe ich aus den EW gebildet. Jetzt habe ich versucht die Gleichung Q^{T}*D*Q zu berechnen und komme leider nicht auf A.

Deshalb vermute ich, dass ich irgendwo einen Denkfehler hab.

Kann mir hierbei jemand weiterhelfen?

Comments

Tipp: Wähle die beiden EVs zum EW Null so, dass diese senkrecht zueinander sind.

Answer 1

Hat der Tipp nicht geholfen ?

Wähle als orthogonale Eigenvektoren zum Eigenwert 0:

$$\begin{pmatrix} -1\\0\\1 \end{pmatrix} und\begin{pmatrix} 1\\-1\\1 \end{pmatrix} $$zusammen mit dem zum Eigenwert 6 hast du dann(die müssen ja jetzt zeilenweise eingetragen werden)die gesuchte Matrix Q

$$\begin{pmatrix} \frac{-1}{\sqrt{2}}&0 & \frac{-1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{-1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}}  \\ \frac{1}{\sqrt{6}} &\frac{2}{\sqrt{6}} &\frac{1}{\sqrt{6}}  \end{pmatrix}$$

Comments

Vielen Dank

Eine Frage hätte ich dazu allerdings noch. Wieso ordnet man die EV zeilenweise und nicht spaltenweise an, wie es ja sonst bei einer Transformationsmatrix wäre?

Leider kann ich deine Antwort nicht mehr als Beste Antwort markieren, wäre also super wenn das ein Admin machen könnte.

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Meistens heißt es bei solchen Aufgaben so:

Q^T * A * Q = D

Dann sind in Q die Spalten die Eigenvektoren.

hier ist es aber

Q^T * D * Q = A das könnte man umformen zu

   D * Q = Q * A     bzw.

       D = Q * A * Q^T

Dieses Q ist also das "normale" Q nur transponiert.

Also statt Spalten sind die Zeilen die Eigenvektoren.

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Eine Frage hätte ich dazu allerdings noch. Wieso ordnet man die EV zeilenweise und nicht spaltenweise an, wie es ja sonst bei einer Transformationsmatrix wäre?

Vielleicht hilft Dir dazu noch dieser Beitrag weiter.

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