Bestimme an der Stelle (x0,y0)=(1,1) die Gleichung der Tangentialebene an der Fläche z=f(x,y)=x^y

Question

gegeben sei die funktion z =f(x,y) mit unabhängigen variablen x,y element R 
man bestimme an der stelle (x0,y0)=(1,1)  die gleichung der tangentialebene an der fläche z=f(x,y)=x^y

Answer 1

Eine Gleichung der Tangentialebene an f ( x , y ) an der Stelle ( x0 , y0 ) = ( 1 , 1 ) ergibt sich durch das zweidimensionale Taylorpolynom erster Ordnung:

z = f ( x0 , y0 ) + f_x ( x0 , y0 ) ( x - x0 ) + f_y ( x0 , y0 ) ( y - y0 )

Für f ( x ) = x ^y ist:

f_x = y x ^{y -1}

und

f_y = x ^y * ln ( x )

An der Stelle ( x0 , y0 ) = ( 1 , 1 ) gilt:

f ( 1 , 1 ) = 1 ¹ = 1

f_x ( 1 , 1 ) = 1 * 1 ⁰ = 1

f_y ( 1 , 1 ) =  x ^y * ln ( x ) = 0

Daraus ergibt sich das Taylorpolynom

z = 1 + 1 * ( x - 1 ) + 0 * ( y - 1 )

<=> z = x

und daraus die Gleichung der Tangentialebene im Punkt ( 1, 1, 1 ) in Koordinatenform:

E : x - z = 0

Comments

danke

 

Es sind mehr Angaben nötig (mindestens 12 Buchstaben).