Berechnen Sie zudem die Gleichung der Tangentialebene an f bei (x0,y0)=(1,1)

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen erster Ordnung der Funktion

f(x,y)=−7⋅x^2⋅y+4⋅x/y^2−4.

Berechnen Sie zudem die Gleichung der Tangentialebene an f bei (x0,y0)=(1,1)

Problem/Ansatz:

ich habe leider keine ahnung hilfe ist gern gesehen...

Answer 1

Aloha :)

$$f(x;y)=-7x^2y+\frac{4x}{y^2}-4\quad;\quad (x_0;y_0)=(1;1)$$

Zum partiellen Ableiten nach \(x\) behandelst du \(y\) wie eine Konstante$$\frac{\partial f}{\partial x}=-14xy+\frac{4}{y^2}$$Zum partiellen Ableiten nach \(y\) behandelst du \(x\) wie eine Konstante$$\frac{\partial f}{\partial y}=-7x^2-\frac{8x}{y^3}$$

Die Gleichung der Tangentialebene an die Funktion \(f\) im Punkt \((x_0;y_0)\) lautet allgemein:$$z=f(x;y)=f(x_0;y_0)+\operatorname{grad}f(x_0;y_0)\cdot\binom{x-x_0}{y-y_0}$$Wir setzen ein:$$z=f(1;1)+\binom{-14xy+\frac{4}{y^2}}{-7x^2-\frac{8x}{y^3}}_{{x=1}\atop{y=1}}\cdot\binom{x-1}{y-1}=-7+\binom{-10}{-15}\cdot\binom{x-1}{y-1}$$$$z=-7-10(x-1)-15(y-1)=-10x-15y+18$$

Die Gleichung der Tangentialebene lautet also in Koordinatenform:$$E\colon\;10x+15y+z=18$$

Answer 2

Hallo

Dir käme wohl nie die Idee in deinem Skript oder deiner Mitschrft nach Tangentialebene zu suchen oder in wiki?

partielle ableitungen ist schon beantwortet, Tangentialebene nach wiki:

$${\displaystyle z=f(x_{0},y_{0})+f_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+f_{y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})}z=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)$$

Gruß lul