Bestimmen Sie die Gleichung der Tangentialebene an die Fläche

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangentialebene an die Fläche

\( \begin{array}{l} \qquad F=\left\{\vec{x}=\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3}: z=\frac{x^{2}+6 x+19}{y^{2}+1}\right\} \subset \mathbb{R}^{3} \\ \text { im Punkt } P=\left(0,1, \frac{19}{2}\right) \in F . \end{array} \)

Problem/Ansatz:

Ich möchte gerne üben die Tangentialebene in einem Punkt zu bestimmen, da dies eine häufige Klausuraufgabe ist. Leider fehlt mir dazu ein wirklicher Ansatz. Ich weiß, dass ich das totale differential anwenden muss, aber das ist auch schon alles. Kann mir eventuell jemand einen Lösungsweg zeigen, damit ich das ganze nachvollziehen kann?

Answer 1

Aloha :)

Die \(z\)-Koordinate der Fläche \(F\) hängt von \(x\) und \(y\) ab:$$z=f(x;y)=\frac{x^2+6x+19}{y^2+1}$$

Die Tangenktialebene an eine Funktion \(f(\vec r)\) an dre Stelle \(\vec r_0\) lautet:$$f_T(\vec r)=f(\vec r_0)+\operatorname{grad}f(\vec r_0)\cdot(\vec r-\vec r_0)$$

Speziell an der Stelle \((x_0;y_0)=(0;1)\) mit \(z_0=f(0;1)=\frac{19}{2}\) gilt hier:$$z_T=f_T(x;y)=\frac{19}{2}+\binom{\frac{2x+6}{y^2+1}}{\frac{(x^2+6x+19)\cdot2y}{(y^2+1)^2}}_{(0;1)}\cdot\left(\binom{x}{y}-\binom{0}{1}\right)$$$$z_T=f_T(x;y)=\frac{19}{2}+\binom{3}{-\frac{19}{2}}\cdot\binom{x}{y-1}$$$$z_T=f_T(x;y)=\frac{19}{2}+3x-\frac{19}{2}(y-1)$$$$z_T=f_T(x;y)=19+3x-\frac{19}{2}y$$

Answer 2

Du kennst die Tangentialebene \(T\) im Punkt P, sobald du einen Normalenvektor \(\vec n\) dieser Ebene hast:

\(T(\vec x ) = \vec n \cdot (\vec x - P) \quad (1)\)

Einen Normalenvektor zur Fläche bekommst du, wenn du die Fläche in der folgenden Form schreibst (stelle die Gleichung für \(z\) einfach um):

\(f(x,y,z)= 0 \Rightarrow x^2+6x+19 - (y^2+1)z = 0\)

Jetzt bekommst du den Normalenvektor als Gradient von \(f\):

\(\vec n = \nabla f(P) \)

\(\Rightarrow \begin{pmatrix} 2x+6 & -2yz & -(y^2+1) \end{pmatrix}(P)= \begin{pmatrix} 6 & -19 & -2 \end{pmatrix}\)

Du setzt in (1) ein und erhältst:
\(6x-19(y-1)-2\left(z-\frac{19}2\right) = 0\)

\(\Leftrightarrow\)

\(\boxed{6x-19y-2z = -38}\)