Bestimmen einer Gleichung der Tangentialebene der Funktion f an der Stelle

Question

Hallo wieder ich,

Kann mir wer hierzu eine Lösung geben (meine ist unten drunter, könnt mir gern sagen ob die korrekt oder falsch ist)

Gegeben ist die Funktion in zwei Veränderlichen \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) mit
\( f(x, y)=y \cdot x^{2}+x^{2}-4 \cdot y \cdot x-4 \cdot x+4 \cdot y+4 . \)

Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangentialebene der Funktion \( f \) an der Stelle
\( \begin{array}{l} \left(x_{0}, y_{0}\right)=(-2,1) . \\ f_{x}(x, y)=\square \\ f_{y}(x, y)=\square \\ f\left(x_{0}, y_{0}\right)=\square \\ f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=\square \\ f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=\square \end{array} \)

Gleichung der Tangentialebene:
\( E: z= \)

Meine Lösung

\( \begin{array}{l} \left(x_{0}, y_{0}\right)=(-2,1) . \\ f_{x}(x, y)= 2xy+2x−4y−4 \\ f_{y}(x, y)= 2x^2-4x+4 \\ f\left(x_{0}, y_{0}\right)=  \\  f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)= -16\\ f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)= 16 \end{array} \)

E:z=−16x+16y−16

Answer 1

Funktion und Gradient

f(x, y) = x^2·y + x^2 - 4·x·y - 4·x + 4·y + 4

f'(x, y) = [2·x·y - 4·y + 2·x - 4, x^2 - 4·x + 4]

Tangentialebene

t(x, y) = f(-2, 1) + f'(-2, 1)·[x + 2, y - 1]

t(x, y) = 32 + [-16, 16]·[x + 2, y - 1] = - 16·x + 16·y - 16

Ergebnis ist richtig.

Trotzdem ist deine Partielle Ableitung nach y nicht ganz korrekt. Prüf das nochmals.

Comments

Das freut mich so sehr!!! kleine Frage habe ich trotzdem noch das ich was vergessen habe bei denn ganzen rechenwegen

Was kommt nochmal in der mitte rein was ich vergessen habe da ich mir unsicher bin ( wo ich HIER geschrieben habe :) )

\( \begin{array}{l} \left(x_{0}, y_{0}\right)=(-2,1) . \\ f_{x}(x, y)= 2xy+2x−4y−4 \\ f_{y}(x, y)= 2x^2-4x+4 \\ f\left(x_{0}, y_{0}\right)= HIER   \\ f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)= -16\\ f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)= 16 \end{array} \)

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f(-2, 1) = 32. Steht oben auch in meiner Antwort.

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Ahja stimmt, ups tut mir leid! Vielen Vielen Dank für die korrektur. Ich mach grade meine Aufgaben und eine korrektur mit erklärung zu haben also eine stütze ist echt mega!!!

Answer 2

Aloha :)

Gesucht ist die Tangentialebene von \(f(x;y)\) an der Stelle \((x_0;y_0)=(-2;1)\).

Dazu schreiben wir erstmal die Funktion vernünftig auf:$$f(x;y)=yx^2+x^2-4yx-4x+4y+4=(x^2-4x+4)+(yx^2-4yx+4y)$$$$\phantom{f(x;y)}=(x^2-4x+4)+y(x^2-4x+4)=(x-2)^2+y(x-2)^2$$$$\phantom{f(x;y)}=(x-2)^2(y+1)$$

Denn das können wir viel einfacher in die Gleichung für die Tangentialebene einsetzen:$$z=f(x_0;y_0)+\operatorname{grad}f(x_0;y_0)\cdot\binom{x-x_0}{y-y_0}$$$$z=32+\left.\binom{2(x-2)(y+1)}{(x-2)^2}\right|_{(x_0;y_0)=(-2;1)}\cdot\binom{x-(-2)}{y-1}$$$$z=32+\binom{-16}{16}\cdot\binom{x+2}{y-1}$$$$z=32-16(x+2)+16(y-1)$$$$z=-16(x-y+1)$$

Deine Lösung ist also richtig\(\quad\checkmark\)

Du hast dich nur bei einer Ableitung vertan.

Daher ist es oft ratsam, die Funktion vorab zu vereinfachen.