Aloha :)
Die Produktionskosten \(K(x;y)\) liegen uns als Funktion vor:$$K(x;y)=\frac{2x}{5}+\frac{1200}{x}+\frac y2+\frac{1600}{y}+\frac{3}{10}$$
Das totale Differential dieser Funktion lautet:$$dK(x;y)=\frac{\partial K}{\partial x}\,dx+\frac{\partial K}{\partial y}\,dy=\left(\frac25-\frac{1200}{x^2}\right)dx+\left(\frac12-\frac{1600}{y^2}\right)dy$$
Speziell an der Stelle \((x_0;y_0)=(400;400)\) erhalten wir:$$dK=\frac{157}{400}\,dx+\frac{49}{100}\,dy$$Für kleine Änderungen \(\Delta x\) und \(\Delta y\) der Argumente können wir damit die Änderung der Funktion \(\Delta K\) annähernd bestimmen:$$\Delta K\approx\frac{157}{400}\,\Delta x+\frac{49}{100}\,\Delta y$$
\(x\) ändert sich um \(8\%\), also von \(400\) auf \(432\), sodass \(\Delta x=32\) ist.
\(y\) ändert sich um \(3\%\), also von \(400\) auf \(412\), sodass \(\Delta y=12\) ist.
Die Änderung der Kostenfunktion ist daher näherungsweise:$$\Delta K\approx\frac{157}{400}\cdot32+\frac{49}{100}\cdot12=\frac{461}{25}=18,44$$
Die Kosten im Referenzpunkt betragen: \(K(400;400)=367,30\)
Die angenäherten neuen Kosten betragen: \(K(432,412)\approx367,30+18,44=385,74\)
Die tatsächlichen neuen Kosten betragen: \(K(432,412)=385,76\)
