Werte auf einer Ebene für λ?

Question

Aufgabe:

Für welchen Wert von λ liegen die Punkte

A (0,2,3)

B (3,0,3)

C (3,2,0)

D (6λ,4λ,6λ)

in einer Ebene

Lösung für λ=

Problem/Ansatz:

Ich würde sehr gerne wissen wie das gemeint ist. Eine Lösung ist erstmal nicht nötig, da ich das gerne selbst verstehen und lösen wollen würde. Eventuell kann mir jemand erklären wie das gemeint bzw. berechnet werden soll?

Vielen Dank schonmal

Answer 1

Aloha :)

Lies aus den Koordinaten die Gleichung der Ebene ab, die alle 3 Punkte \(A,B,C\) enthält:$$\frac x3+\frac y2+\frac z3=2$$

Damit der Punkt \(D\) in der Ebene liegt, müssen seine Koordinaten die Gleichung erfüllen:$$2=\frac{6\lambda}{3}+\frac{4\lambda}{2}+\frac{6\lambda}{3}=2\lambda+2\lambda+2\lambda=6\lambda\quad\implies\quad\lambda=\frac13$$

Answer 2

Setze die Ebene, in der die Punkte A, B und C liegen, gleich dem Punkt D und löse die Gleichung:

[0, 2, 3] + r·([3, 0, 3] - [0, 2, 3]) + s·([3, 2, 0] - [0, 2, 3]) = [6·k, 4·k, 6·k]

Da eh schon eine Lösung gegeben worden ist füge ich meine Lösung r = s = k = 1/3 auch noch an.

Comments

Danke für die schnelle Antwort,

entschuldige wenn ich mich da anstelle wie das erste Auto, aber wie soll ich die Ebene gleich dem Punkt setzen? Es sind ja 4 punkte gegeben, wenn ich das richtig verstehe!?

Oder soll mit den Punkten eine Ebene aufgestellt werden?

Bzw. Wieso ist im letzten Punkt λ mit gegeben?

Ich bin leider seit fast 21 Jahren aus der Schule raus. Da fällt mir das hier tatsächlich sehr schwer. Entschuldigung schonmal dafür.

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Wenn man prüfen soll, ob 4 Punkte in einer Ebene liegen, dann stellt man mit 3 dieser Punkte eine Ebene auf. Diese bilden IMMER eine Ebene, sofern diese Punkte nicht auf einer Geraden liegen. Mit dem vierten Punkt prüft man dann lediglich noch, ob dieser in der Ebene liegt. Bzw. in diesem Fall, soll man den Parameter so bestimmen, dass der Punkt in der Ebene liegt. Das führt zum obigen Gleichungssystem, was eine eindeutige Lösung besitzen könnte.

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Ich gebe meinen Schülern immer den Tipp sich das zu Visualisieren. Du kannst die Punkte A, B und C sicher in Geogebra einzeichnen. Und eine Ebene in der diese Punkte liegen.

Alle Punkte D liegen für den Parameter auf einer Geraden. Also schneidest du die Ebene mit der Geraden.

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vielen vielen dank, das macht das tatsächlich etwas leichter. :-)