Bestimmen Sie die beiden Werte für d, so dass die Ebene E_d den Abstand 3 von der Ebene E hat.

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Ebene durch die Koordinatengleichung

E: 2x+2y−1z=4

Alle parallelen Ebenen sind durch Koordinatengleichungen der Form

E_d: 2x+2y−1z=d

mit einem zur Ebene gehörenden Parameter d gegeben.

Bestimmen Sie die beiden Werte für d, sodass die Ebene E_d den Abstand 3 von der Ebene E hat.

d₁=
d₂=

Problem/Ansatz:

Normalenvektor

\( \sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} \) = \( \sqrt{ (4 + 4 + 1)} \) = \( \sqrt{9} \) = 3

3 = |d - 4| / 3

3 * 3 = d - 4 => d₁ = 9 + 4 = 13
-3 * 3 = d - 4 => d₂ = -9 + 4 = -5

Answer 1

Deine beiden Werte sind richtig.

Comments

Das gehört zu einem online Test. Und mir wird da ausgegeben das die Antwort leider falsch sei. ☹

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Deine Ebene enthält z.B. den Punkt (1|1|0), denn 2*1+2*1-1*0 ist tatsächlich 4.

Wenn man sich von diesem Punkt aus senkrecht zur Ebene um 3 Einheiten entfernt, landet man (unter Verwendung des Normalenvektors, welcher zufälligerweise den Betrag 3 hat) bei (3|3|-1) oder in Gegenrichtung bei (-1|-1|1).

2*3+2*3-1*(-1) ist 13.

2*(-1)+2*(-1)-1*(1) ist -5.

Vielleicht ist der online-Test ja so dämlich, dass er die Eingabe der beiden Werte nur in einer der beiden möglichen Reihenfolgen akzeptiert?

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Geht zu einem Verantwortlichen für die Online-Tests und fragt, warum hier die Lösung {-5 ; 13} nicht akzeptiert wird.

Answer 2

Hier sind zwei Links mit den Berechnungen des Abstandes eines Punktes von E zu den anderen beiden Ebenen mit \(d=13\) und \(d=-5\).

d=13

d=-5

Wie du sehen kannst, ist er Abstand wie gewünscht 3. Du kannst dort auch gern weitere Punkte von E einsetzen. Dein Online-Test hat offenbar falsche Lösungen hinterlegt.