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Wähle einen beliebigen Punkt auf der Ebene aus. Man sieht z.B. sofort, dass der Punkt \(A(16|0|0)\) die Ebenengleichung erfüllt und daher in der Ebene liegt. Dann bestimmst du den Vektor von \(A\) nach \(P(7|-1|a)\):$$\overrightarrow{AP}=\vec p-\vec a=\begin{pmatrix}7-16\\-1-0\\a-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-9\\-1\\a\end{pmatrix}$$
Die Projektion dieses Vektors \(\overrightarrow{AP}\) auf den Normalenvektor \(\vec n=(2|-6|9)\) der Ebene ist der Abstand \(d\) des Punktes von der Ebene. Zur Berechnung der Projektion musst du zuerst diesen Vektor \(\vec n\) normieren, also durch seine Länge dividieren:$$\vec n^0=\frac{1}{\sqrt{2^2+(-6)^2+9^2}}\begin{pmatrix}2\\-6\\9\end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{121}}\begin{pmatrix}2\\-6\\9\end{pmatrix}=\frac{1}{11}\begin{pmatrix}2\\-6\\9\end{pmatrix}$$Damit ist der Abstand \(d\) bzw. die Projektion:$$d=\vec n^0\cdot\overrightarrow{AP}=\frac{1}{11}\begin{pmatrix}2\\-6\\9\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-9\\-1\\a\end{pmatrix}=\frac{1}{11}\left(-18+6+9a\right)=\frac{9a-12}{11}$$
Dieser Abstand soll nun \(3\) oder \((-3)\) sein, je nachdem, ob der Punkt oberhalb oder unterhalb der Ebene liegt:$$\frac{9a-12}{11}=\pm3\implies9a-12=\pm33\implies9a=12\pm33\implies a=\frac{12\pm33}{9}$$
Wir erhalten \(a=-\frac73\) und \(a=5\).
