Ebene durch A senkrecht auf g: x= (4;1;-2) + λ (1;3;4). Gerade parallel zu zwei Ebenen.

Question

komm bei zwei Aufgaben nicht mehr weiter. Und zwar hab ich die Ebene E: 2x1-x2+x3+1=0 und die Gerade g: x= (4;1;-2) + λ (1;3;4). Die Koordinaten sind natürlich untereinander geschrieben, wie bei einen ganz normal Vektor.

Nun zu den Aufgaben:

a Wie lautet eine Gleichung der Ebene H, die senkrecht von der Geraden g im Punkt A(2;-5;1) geschnitten wird?

Hab da gedacht, Richtungsvektor von g ist Normalenvektor von H und Punkt A ist Stützvektor von H. Aber wie gehts wieter?

bWie lautet eine Gleichung der Geraden h, die durch den Punkt A(2;-5;1) verläuft und parallel zur Ebene E sowie zur Ebene F: 3x1-5x2-x3+4=0 verläuft.
Hier wird mir die ganze Sache zu komplex. Wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte.

Answer 1

a Wie lautet eine Gleichung der Ebene H, die senkrecht von der Geraden g im Punkt A(2;-5;1) geschnitten wird?

Hab da gedacht, Richtungsvektor von g ist Normalenvektor von H

Ansatz H: x + 3y + 4z=d

und Punkt A ist Stützvektor von H. Aber wie gehts wieter?

Punkt A in die Koordinatengleichung einsetzen. ---> d

2 - 15 + 4 = d

-9 = d

 H: x + 3y + 4z= -9

bWie lautet eine Gleichung der Geraden h, die durch den Punkt A(2;-5;1) verläuft und parallel zur Ebene E sowie zur Ebene F: 3x1-5x2-x3+4=0 verläuft.

h muss parallel zur Schnittgeraden der beiden Ebenen verlaufen. Der Richtungsvektor kann als Vektorprodukt der beiden Normalenvektoren (2,-1,1) und (3,-5,-1) angegeben werden. A ist der Stützpunkt.