Beweis: Vektorprodukt zweier Normalvektoren von zwei Ebenen parallel zur Schnittgeraden der beiden Ebenen?

Question

Aufgabe:

Zu beweisen gilt, dass das Vektorprodukt zweier Normalvektoren von zwei verschiedenen Ebenen parallel zur Schnittgeraden der beiden Ebenen ist.

Problem/Ansatz:

Meine Idee:

Die Ebenen seien gegeben durch die Gleichungen E_1:n_1⋅(x−p_1)=0 und E_2:n_2⋅(x−p_2)=0.
Das Vektorprodukt der Normalvektoren laut Definition ist ja gegeben durch n_1×n_2. Der Vektor steht dann senkrecht auf beiden Normalvektoren und infolgedessen außerdem senkrecht auf beiden Ebenen.
Zudem wissen wir: Die Schnittgerade der beiden Ebenen ermittelt man anhand der Lösung des Gleichungssystems, die aus den Gleichungen der beiden Ebenen besteht. Ein Vektor, welcher parallel zur Schnittgerade verläuft, liegt in beiden Ebenen und steht damit auch senkrecht auf beiden Normalvektoren.
Weil das Vektorprodukt und ein Vektor, der parallel zur Schnittgerade verläuft, senkrecht auf beiden Normalvektoren stehen, müssen sie parallel zueinander sein.

Wie könnte ich das mathematisch formulieren (nicht als Beispiel, sondern ohne Beschränkung der Allgemeinheit)?

Answer 1

Die beiden Normalvektoren spannen eine Ebene auf, auf welcher deren Normalvektor senkrecht steht. Senkrecht auf senkrecht auf einer Ebene bedeutet 'parallel zu dieser Ebene'. Da das für beide Ebenen gilt, muss das Vektorprodukt zweier Normalvektoren von zwei verschiedenen Ebenen parallel zu beiden Ebenen und folglich parallel zur Schnittgeraden der beiden Ebenen sein.

Comments

ja, genau. Könnte man das irgendwie mathematischer im Zuge eines Beweises ausformulieren?

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Ich finde, meine Formulierung lässt - auch auch aus mathematischer Sicht - nichts zu wünschen übrig.

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Hallo Antonia:

Rolands Text erklärt die Situation sehr wohl geometrisch - mathematisch korrekt und verständlich. Mathematische Aussagen müssen nicht unbedingt immer nur mittels Variablen und Formeln dargestellt werden.

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das war auch gar nicht so gemeint, dass die Antwort nicht zufriedenstellend oder nicht korrekt wäre! Vielen Dank für die Hilfe und vielen Dank für die raschen Antworten :-)