Berechnen Sie mit Hilfe des totalen Differenzials an der Stelle (x_{0}, y_{0}) einen Näherungswert für K

Question

Aufgabe:

Ein Unternehmen stellt die beiden Produkte \( X \) und \( Y \) her. Die Produktionskosten \( K \) hängen von der produzierten Anzahl \( x \) des Produktes \( X \) und \( y \) des Produktes \( Y \) wie folgt ab:

\( K(x, y)=\frac{3 x}{10}+\frac{3 y}{10}+\frac{1600}{x}+\frac{1000}{y}+\frac{1}{5} . \)
Aktuell werden \( x_{0}=400 \) Stück des Produktes \( X \) und \( y_{0}=200 \) Stück des Produktes \( Y \) hergestellt. Berechnen Sie mit Hilfe des totalen Differenzials an der Stelle \( \left(x_{0}, y_{0}\right) \) einen Näherungswert für \( K \), wenn sich die Anzahl \( x \) um \( 6 \% \) und die Anzahl \( y \) um \( 1 \% \) erhöht.

Answer 1

\(K(x,y) \approx K(x_0,y_0)+ \partial_xK(x_0,y_0)(x-x_0)+\partial_yK(x_0,y_0)(y-y_0)\)

\( K(x_0,y_0) = 189.2 \)

\( \partial_xK(x, y) = \frac{3}{10}-\frac{1600}{x^2} \) , \( \partial_xK(x_0, y_0) = 0.29 \)

\( \partial_yK(x, y) = \frac{3}{10}-\frac{1000}{y^2} \) , \( \partial_yK(x_0, y_0) = 0.275 \)

\(K(x,y) \approx 189.2 + 0.29 * ( 400*0.06) + 0.275 * ( 200*0.01 ) = 196.71 \)