Berechnen Sie mit Hilfe des totalen Differenzials an der Stelle (x0,y0) einen Näherungswert für K, wenn sich die …

Question

Aufgabe:

Ein Unternehmen stellt die beiden Produkte X und Y her. Die Produktionskosten K hängen von der produzierten Anzahl x des Produktes X und y des Produktes Y wie folgt ab:
K(x,y)=\( \frac{3x}{10} \)+\( \frac{y}{2} \)+\( \frac{600}{x} \)+\( \frac{500}{y} \)+\( \frac{1}{10} \)

Aktuell werden x0 = 300 Stück des Produktes X und y0 = 500 Stück des Produktes Y hergestellt. Berechnen Sie mit Hilfe des totalen Differenzials an der Stelle (x0,y0) einen Näherungswert für K, wenn sich die Anzahl x um 8% und die Anzahl y um 4% erhöht.

Problem/Ansatz:

????? Also ich habe hier überhaupt keine Ahnung also nada unter Näherungswert fällt mir nur das Newton Verfahren ein...

Kann mir jemand hier weiterhelfen??

Answer 1

Hallo,

im eindimensional Fall gehört zu den Konzepten zum Begriff der Ableitung, dass man den Graph eine Funktion f in der Umgebung eines Punkts (x_0,f(x_0)) näherungsweise durch die Tangente darstellt.

Im 2-dimensionalen sieht das so aus:

$$K(x,y) \approx K(x_0,y_0)+ \partial_xK(x_0,y_0)(x-x_0)+\partial_yK(x_0,y_0)(y-y_0)$$

Die beiden Terme mit den Ableitungen zusammen nennt man auch "totales Differential". Du brauchst also nur die partiellen Ableitungen von K nach x bzw. y ausrechnen und die gegebenen Werte einsetzen.

Gruß Mathhilf