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Aufgabe 3: (8 Punkte/8 Punkte/9 Punkte)
a) Gegeben ist Ihnen die Funktion \( f(x, y, z)=x y^{2} z+z^{3} \).
Berechnen Sie den Gradienten von \( f \).
b) Gegeben ist Ihnen die Funktion \( g(x, y)=2+x^{2} y^{3} \).
Berechnen Sie das totale Differential \( d g \) !
c) Gegeben ist die Funktion \( h(x, y)=1-x^{2} y^{2} \).
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung \( t(x, y) \) der Tangentialebene dieser Funktion am Punkt \( P\left(x_{0}=1 / y_{0}=1\right) \)
a) Berechnen Sie den Gradienten von f
f(x,y,z) = xy^2 z +z^3
[Faktoren werden behandelt wie eine Zahl beim Ableiten]
f(x) = y^2 z
f(y) = 2xyz
f(z) = xy^2+3z^2
f(x) = y^2 z
∇ f (x,y,z): f(y) = 2xyz
f(z) = 3z^2
b) Berechnen Sie das totale Differential dg!
g(x,y) = 2 + x^2 y^3
[Faktoren werden behandelt wie eine Zahl beim Ableiten]
g(x) = 2xy^3
g(y) = 3x^2 y^2
[Nun das Totale Differential bilden]
dg = gx ∙dx + gy ∙dy [Allgemeine Schreibweise]
dg = 2xy^3∙dx + 3x^2 y^2 ∙dy [Alles Einsetzen]
c) Bestimme die Funktionsgleichung t(x,y) der Tangentialebene dieser Funktion am Punkt P(x0= 1 / y0= 1)
h(x,y) = 1 - x^2 y^2 [(x0= 1 / y0= 1) einsetzen] Z0 = 1 - 1^2 ∙1^2 = 0
[Ableitungen von h(x) und h(y) bilden]
hx(x,y) = -2xy^2 [(x0= 1 / y0= 1) einsetzen] hx(x0, y0) = -2 ∙1∙1^2 = -2
hy(x,y) = -2x^2 y [(x0= 1 / y0= 1) einsetzen] hy(x0, y0) = -2 ∙1^2∙1 = -2
Allgemeine Formel:
z - z0 = hx(x0, y0) ∙ (x-x0) + hy(x0, y0) ∙ (y-y0) = t(x,y)
z - 0 = -2 ∙ (x-1) + (-2) ∙ (y-1)
z = -2x + 2 + -2y + 2
z = -2x -2y + 4 = t(x,y)
Ist meine Lösung korrekt?.. ein nein würde mir schon weiterhelfen wenn es nicht so ist.
