Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangentialebene der Funktion f an der Stelle (x0, y0) = (1, 2).

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion in zwei Veränderlichen f : R2 → R mit

f(x,y)=−4+4y−4x+4xy−x²+x²y.

Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangentialebene der Funktion f an der Stelle (x0, y0) = (1, 2).

Problem/Ansatz:

Wir sind gerade erst neu darauf gestoßen und so gut verstehe ich es noch nicht. Deshalb bitte ich um Lösung und auch eine Mini Erklärung

Vielen Dank

Answer 1

Aloha :)

Die Gleichung der Tangentialebene an die Funktion \(f(\vec r)\) im Punkt \(\vec r_0=(x_0;y_0)\) lautet:$$z(\vec r)=f(\vec r_0)+\operatorname{grad}f(\vec r_0)\cdot(\vec r-\vec r_0)$$

Da brauchst du nur noch einzusetzen:$$f(\vec r_0)=f(1;2)=\left(-4+4y-4x+4xy-x^2+x^2y\right)_{(x,y)=(1,2)}=9$$$$\operatorname{grad}f(1;2)=\binom{-4+4y-2x+2xy}{4+4x+x^2}_{(x,y)=(1,2)}\!\!\!=\binom{(2x+4)(y-1)}{(x+2)^2}_{(x,y)=(1,2)}\!\!\!=\binom{6}{9}$$

Also haben wir als Ebenengleichung:

$$z=9+\binom{6}{9}\binom{x-1}{y-2}=9+6(x-1)+9(y-2)$$$$z=6x+9y-15$$Oder in gewohnterer Form:$$E\colon\;6x+9y-z=15$$

Answer 2

Kannst vorgehen wie bei

https://de.wikipedia.org/wiki/Tangentialebene#Tangentialebene_an_den_Graphen_einer_Funktion

Dazu brauchst du f(1,2) = 9

und f_x(1,2)=12   wegen f_x= 2xy +4y-6

und f_y(1,2)=9  wegen f_y=x^2 +4x + 4

Also Ebene:    9 + 12*(x-1) + 9*(y-2)=z