In welchem Punkt von F liegt die Tangentialebene an F parallel zu E und wie lautet die Tangentialebene?

Question

Gegeben sind die Fläche F durch die Gleichung §§ z\quad =\quad f(x,y)\quad =\quad { x }^{ 2 }\quad +\quad xy\quad +\quad 2{ y }^{ 2 }\quad +\quad 4 §§ und die Ebene §§ E\quad :\quad 2x\quad +\quad 4y\quad -\quad \frac { 1 }{ 2 } z\quad =\quad 1 §§

In welchem Punkt von F liegt die Tangentialebene an F parallel zur Ebene E und wie lautet die Tangentialebene?

Comments

Entschuldigt meinen falschen Umgang mit dem Formeleditor:

Gegeben sind die Fläche F durch die Gleichung $$ z\quad =\quad f(x,y)\quad =\quad { x }^{ 2 }\quad +\quad xy\quad +\quad 2{ y }^{ 2 }\quad +\quad 4 $$ und die Ebene $$ E\quad :\quad 2x\quad +\quad 4y\quad -\quad \frac { 1 }{ 2 } z\quad =\quad 1 $$

In welchem Punkt von F liegt die Tangentialebene an F parallel zur Ebene E und wie lautet die Tangentialebene?

Answer 1

Hallo Dauerstudent,

 z  =  f(x,y)  =  x^2 + x·y + 2·y^2 + 4  

f_x (x,y)  =  2·x + y

f_y (x,y)  =  x + 4·y

E:   2x + 4y - 1/2 z = 1  ⇔   z  =   4 · x  +  8 · y -  2 

Tangentialebene T an der Stelle (a,b):

z  =  f(a,b) + f_x(a,b) * (x - a) + f_y(a,b) * (y - b)

z  =  a^2 + a·b + 2·b^2 + 4 + (2·a + b) · (x - a) + (a + 4·b) · (y - b)               #

         Ausmultiplizieren und x, y ausklammern:

T:   z  =  x · (2·a + b)  + y · (a + 4·b)  - a^2 - a·b - 2·b^2 + 4 

Da die Koeffizienten von x,y und z bei  E und T die parallelen Normalenvektoren ergeben und der Koeffizient von z in beiden Fällen 1 ist, müssen auch die Koeffizienten von x und y gleich sein:

T || E  ⇔   2·a + b = 4  und  a + 4·b = 8     ⇔   a = 8/7 und   b = 12/7

          a und b in # einsetzen:

T:     z  =  4·x + 8·y - 36/7   ist zu E parallele Tangentialebene an der Stelle (8/7 , 12/7)

mit dem  Berührpunkt ( 8/7 | 12/7 | 92/7 )

Gruß Wolfgang