Berechne die Gleichung der tangentialebene im Punkt T an die Kugel k?

Question

Aufgabe:

Berechne die Gleichung der tangentialebene im Punkt T an die Kugel k

T(1/2/zt>0) k [M(0/0/0);3]

Problem/Ansatz:

Ich weiss wie man das berechnet wenn beim Punkt T alle 3 Koordinaten gegeben sind aber wie macht man das mit dem Parameter? In der lösung steht der parameter ist zt ist 2 aber wie kommt man darauf??

Answer 1

Hallo Vroni,

schau Dir folgendes Bild an:

Die senkrechte Gerade (grau) enthält alle Punkt, mit einer x-Koordinate von 1 und einer y-Koordinate von 2. Also alles mögliche Kandidaten für \(T(1|2|z)\). Mit der zusätzlichen Bedingung, dass \(T\) auf der Kugelobefläche liegen soll, kommen nur die zwei Punkte in Frage, in denen die Senkrechte die Kugeloberfläche schneidet.

Nun zeichnet sich jeder Punkt auf der Kugeloberfläche dadurch aus, dass sein Abstand vom Mittelpunkt gleich dem Radius ist, hier \(r=3\). Das gilt auch für \(T\). Also muss gelten:$$|MT| = 3, \quad \implies (T-M)^2 = 3^2 \\ \begin{aligned}\implies (1-0)^2 + (2-0)^2 + (z-0)^2  &= 3^2 \\ 1 + 4 + z^2 &= 9 \\  z^2 &= 4 \\ z &= 2 &|\, \text{wg.} \space z \gt 0\end{aligned}$$die negative Lösung für \(z\) entfällt lt. Aufgabenstellung.

Zur Kontrolle: die Ebenengleichung ist$$E: \quad \begin{pmatrix}1\\ 2\\ 2\end{pmatrix} \vec x = 9$$Gruß Werner

Comments

Oh wow das ist so ausführlich und verständlich, dass ich es auf Anhieb verstehe!! Danke dafür ich werd mir das gleich abschreiben und zu meinen lernkarten machen, vorallem die Animation ist sehr gut :)))

Answer 2

T ist ja ein Punkt der Kugel.

Also die Strecke MT solang wie der Kugelradius, also 3

==>  √(1^2 + 2^2 + zt^2 ) = 3

==>    1 + 4 + zt^2 = 9

==>   zt^2 = 4

==>  zt=2 ( weil zt>0 nur die eine Lösung)

Comments

Danke für die Antwort:) verstehe es jetzt