Berechnen Sie eine Gleichung der Tangentialebene an die Kugel x2 + y2 + z2 = 9 im Punkt (1, 2, 2)T .

Question

hat jemand einen Ansatz ?

Aufgabe:

Berechnen Sie eine Gleichung der Tangentialebene an die Kugel x² + y² + z² = 9 im Punkt (1, 2, 2)^T .

lagu96

Answer 1

Aloha :)

Die Kugel liegt im Ursprung und für ihren Radius \(r\) gilt:$$r^2=x^2+y^2+z^2=9\quad\implies\quad r=3$$Die Tangentialebene steht daher senkrecht auf dem Vektor \(\vec p=(1;2;2)^T\), sodass wir bereits einen Normalenvektor der Ebene kennen. Wenn wir nun den Ortsvektor \(\vec x\) zu einem beliebigen Punkt \(X\) der Ebene auf diesen Normalenvektor \(\vec p\) projezieren, muss die Länge dieser Projektion gleich dem Radius \(r\) sein. In Formeln:$$\frac{\vec x\cdot\vec n}{\left\|\vec n\right\|}\stackrel!=r\quad\implies\quad\frac{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=3\quad\implies\quad\frac{x+2y+2z}{\sqrt9}=3\quad\implies$$$$E\colon x+2y+2z=9$$

Comments

Danke für die schnelle Antwort und Lösung!

Answer 2

Setze den Punkt in den Normalgleichung der Kugel ein:

E:=((x,y,z)(1,2,2))=9

Comments

Danke für den Ansatz !