Zeigen Sie, dass die Ebene E eine Tangentialebene der Kugel im Punkt B ist.

Question

Aufgabe Tangentengleichungen:

Gegeben sind die Kugel \( K((4|3| 1), 3) \), der Punkt \( B=(6|5| 2) \) und die Ebene E: \( 2 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=24 \)

a) Zeigen Sie, dass die Ebene E eine Tangentialebene der Kugel im Punkt B ist.

b) Begründen Sie die Gleichung für die Tangentialebene anhand der Zeichnung.

c) Interessanterweise gelten die Gleichungen auch in der Ebene. Zeigen Sie dies.

Comments

Die Tangentialebene ist doch gegeben, sie muss nicht aufgestellt werden. Zeige einfach, dass \(B\) auf \(K\) und auf \(E\) liegt und begründe, etwa anhand des Vektors \(\overrightarrow{BM_K}\), dass \(B\) der einzige gemeinsame Punkt sein muss.

Answer 1

a) Bestimme die Hessesche Normalform der Gleichung von E.

Setze dort den Mittelpunkt der Kugel ein. Wenn 3 oder -3 rauskommt, hat die Ebene den Abstand 3 vom Mittelpunkt der Kugel und ist somit eine Tangentialebene an die Kugel. q.e.d.

Comments

Hessesche Normalform? Die hatten wir nicht so wirklich im Unterricht. Kann man nicht die Tangentialgleichung nehmen?

Tangentengleichungen

Tangentialebene an eine Kugel im Berührpunkt B:
\( T:(\vec{b}-\vec{m}) \cdot(\vec{x}-\vec{b})=0 \)

Die Tangentengleichung lässt sich auch mithilfe des Radius in der folgenden Form schreiben: \( \mathrm{T}:(\overrightarrow{\mathrm{b}}-\overrightarrow{\mathrm{m}}) \cdot(\overrightarrow{\mathrm{x}}-\overrightarrow{\mathrm{m}})=\mathrm{r}^{2} \)

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Kannst du schon. Dauert einfach einiges länger, da du den allfälligen Berührpunkt explizit berechnen musst.

Benutze, dass der Radius normal auf der Tangentialebene steht.

Mit dem Weg von hh186 kommst du übrigens auch schneller zum Ziel, als mit eurer Formel.

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Ist das richtig?

\( E: \frac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \left( \begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \right) = 3 \)

Die Ebene E ist eine Tangentialebene der Kugel im Punkt B.

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Ja das sieht richtig aus. Damit es auch noch vollständig ist, schreibst du neben deine Gleichung mal ein Fragezeichen und darunter noch die Zeile

1/3*(2*2 + 2*2 + 1*1) = 3 ?

1/3* 9 = 3 stimmt.

Und vor deine Rechnung schreibst du, was du machst, also: Ich "bestimme die Hessesche Normalform der Gleichung von E.

Setze dort den Mittelpunkt der Kugel ein. Wenn 3 oder -3 rauskommt, hat die Ebene den Abstand 3 vom Mittelpunkt der Kugel und ist somit eine Tangentialebene an die Kugel. q.e.d."