Kugel mit Mittelpunkt auf g. Ausserdem sind von der Kugel die Punkte A(3/-2/1) und B(-5/8/9) bekannt.

Question

Aufgabe:

12. Gegeben sind eine Kugel durch den Mittelpunkt \( \mathrm{M}(-1 / 4 / 1) \) und den Radius \( \mathrm{R}=7 \) sowie eine Gerade \( g \) durch die Punkte \( A(3 / 2 / 1) \) und \( B(5 / 6 /-2) \).

a) Berechnen Sie die Durchstosspunkte der Geraden g mit der Kugel.

b) In \( \mathrm{P}(-7 / 2 / 4) \) und \( \mathrm{Q}(-3 / 10 /-2) \) berührt je eine Tangentialebene die Kugel. Wie lauten die Gleichungen dieser Tangentialebenen?

c) Welchen Winkel schliessen diese Ebenen ein?

Answer 1

a) Die Gleichung deiner Kugel ist:

(x+1)^2+(y-4)^2+(z-1)^2=49.

und deine Geradengleichung ist

\( \left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}3 \\ 2 \\ 1\end{array}\right)+\lambda\left(\begin{array}{c}2 \\ 4 \\ -3\end{array}\right) \)

und jetzt setzt du das ineinander ein:

(3+2l+1)^2+(2+4l-4)^2+(1-3l-1)^2=49

4l^2+16l+16+16l^2-16l+4+9l^2=49

29l^2=29

l^2=1

l_1=1,l_2=-1

dann sind die Durchstoßpunkte: d_1=(5,6,-2)^T und d_2=(1,-2,4)^T

Answer 2

Bei b) und c) sind die Vektoren MP und MQ Normalenvektoren (n1; n2; n3) auf die Tangentialebenen.

Du kannst sofort die Koordinatengleichungen dieser Ebenen hinschreiben.

Ansatz: E: n1x + n2y + n3z + d = 0 und den Punkt auf der Tangentialebene einsetzen, um d zu berechnen.

Den Winkel zwischen den beiden Ebenen kannst du via Skalarprodukt der Normalenbektoren erhalten. Sollte ein stumpfe Winkel rauskommen: einfach 180° - diesen Winkel rechnen, da üblicherweise der kleinere von beiden Winkel als Schnittwinkel zweier Ebenen bezeichnet wird.