Kleinsten Affinen Unterraum bestimmen und Dimension

Question

Ich benötige Hilfe bei folgender Aufgabe:

Könnte mir einer bitte sagen, wie ich hier vorgehen muss. Vielen Dank :)

Comments

der kleinste affine Unterraum in dem die Punkte liegen ist ja wohl

$$ A := P_0 + \operatorname{Lin}( P_1 - P_0, P_2 - P_0, P_3 - P_0 ) $$

also gerade alle Punkte der Form

$$ P_0 + \alpha(P_1 - P_0) + \beta(P_2 - P_0) + \gamma(P_3 - P_0) $$

Wenn du z.B. \( (\alpha,\beta,\gamma)=(0,0,0) \) setzt erhältst du \( P_0 \) für \( (\alpha,\beta,\gamma)=(1,0,0) \) erhältst du \( P_1 \) usw.

Der gewählte Raum ist auch minimal. Da \( P_0 \) und für jeden Punkt \( P_i \) auch die Verbindungsgerade zwischen \( P_0 \) und \( P_i \) enthalten sein muss, daher kommen die \( P_i - P_0 \). Das ist stets ein Richtungsvektor dieser Geraden.

Wenn du jetzt die lineare Unabhängigkeit der Vektoren \( P_i - P_0 \) überprüfst wirst du feststellen, dass diese linear abhängig sind. Du solltest dann Vektoren x, y bestimmen können mit:

$$ A = P_0 + \operatorname{Lin}(x,y) $$

Insbesondere hat A Dimension 2 (und nicht etwa 3)

Wenn du dir jetzt einen beliebigen Punkt von \( A \) her nimmst, der auch in der Hyperebene liegen soll:

$$ a \in A, a = P_0 + \lambda x + \mu y = \begin{pmatrix} P_{0,1} + \lambda x_1 + \mu y_1\\ P_{0,2} + \lambda x_2 + \mu y_2\\ P_{0,3} + \lambda x_3 + \mu y_3\\ P_{0,4} + \lambda x_4 + \mu y_4 \end{pmatrix} $$

dann erfüllt dieser Punkt die Gleichung:

$$ 4(P_{0,1} + \lambda x_1 + \mu y_1) + (P_{0,2} + \lambda x_2 + \mu y_2) + ... = -6 $$

vereinfache diese Gleichung. Erhaltene Beziehungen zwischen \( \lambda \) und \( \mu \) kannst du dann in die allgemeine Gleichung von \( a \) einsetzen um die Elemente des Schnitts zu erhalten.

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Spoiler: https://www.mathelounge.de/240998/affiner-unterraum-dimension-und-druchschnitt

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Vom Duplikat:

Titel: Dimension Unterraum/Durchschnitt bestimmen

Stichworte: affin,unterraum,dimension,durchschnitt

Text erkannt:

a) Welche Dimension hat der von den \( P_{i} \) aufgespannte affine Unterraum \( U=P_{1} \vee P_{2} \vee P_{3} \vee P_{4} ? \)
b) Bestimmen Sie den Durchschnitt von U mit der durch
$$ H=\left\{P=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) \in \mathbb{A}^{4}(\mathbb{R}) \mid 4 x_{1}+x_{2}+x_{3}-2 x_{4}-6=0\right\} $$
gegebenen Hyperebene.

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was ist Pi?

lul

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Text erkannt:

Im 4-dimensionalen affinen Raum \( \mathbb{A}^{4}(\mathbb{R}) \) seien folgende Punkte \( P_{i} \) gegeben:
$$ \begin{array}{c} P_{1}=(3,-4,1,6), P_{2}=(3,-2,-10,0) \\ P_{3}=(2,0,-3,2), P_{4}=(1,2,4,4) \end{array} $$

Answer 1

Aloha :)

Da der Nullvektor in dem Unterraum \(A\) enthalten sein muss, können wir die Koordinaten der 4 Punkte als Richtungsvektoren interpretieren und ihre linearen Abhängigkeiten herausrechnen. Dazu verwenden wir elementare Spaltenumformungen:

$$\begin{array}{rrrr}-3S_4 & -3S_4 & -2S_4 &\\\hline3 & 3 & 2 & 1\\-4 & -2 & 0 & 2\\1 & -10 & -3 & 4\\6 & 0 & 2 & 4\end{array}\quad\mapsto\quad\begin{array}{rrrr}-S_3 & -2S_3 & \cdot(-1) &\\\hline0 & 0 & 0 & 1\\-10 & -8 & -4 & 2\\-11 & -22 & -11 & 4\\-6 & -12 & -6 & 4\end{array}\quad\mapsto$$$$\begin{array}{rrrr} :(-6) & & &\\\hline0 & 0 & 0 & 1\\-6 & 0 & 4 & 2\\0 & 0 & 11 & 4\\0 & 0 & 6 & 4\end{array}\quad\mapsto\quad\begin{array}{rrrr}  & & -4S_1 & -2S_1\\\hline0 & 0 & 0 & 1\\1 & 0 & 4 & 2\\0 & 0 & 11 & 4\\0 & 0 & 6 & 4\end{array}\quad\mapsto\quad\begin{array}{rrrr}  & & & \\\hline0 & 0 & 0 & 1\\1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 11 & 4\\0 & 0 & 6 & 4\end{array}$$Damit haben wir alle linearen Abhängigkeiten entfernt:

$$A=\left\{\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}\in\mathbb R^4\;\Bigg|\;\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=u\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}+v\begin{pmatrix}0\\0\\11\\6\end{pmatrix}+w\begin{pmatrix}1\\0\\4\\4\end{pmatrix}\;;\;u,v,w\in\mathbb R\right\}$$

Da die Konstruktion von \(A\) drei linear unabhängige Richtungsvektoren ergeben hat, haben wir drei Freiheitsgrade zur Verfügung (die Wahl von \(u,v,w\)), sodass \(A\) die Dimension \(3\) hat.

Zur Ermittlung des Durchschnitts von \(A\) mit der gegebenen Hyperebene \(H\), setzen wir die Koordinaten der Punkte aus \(A\) in die Koordinatengleichung der Hyperebene ein:$$0=4x_1+x_2+x_3-2x_4+6$$$$0=4w+u+(11v+4w)-2(6v+4w)+6$$$$0=u-v+6$$$$v=u+6$$Die Punkte des gesuchten Durchschnitts sein daher:

$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=u\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}+(u+6)\begin{pmatrix}0\\0\\11\\6\end{pmatrix}+w\begin{pmatrix}1\\0\\4\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\66\\36\end{pmatrix}+u\begin{pmatrix}0\\1\\11\\6\end{pmatrix}+w\begin{pmatrix}1\\0\\4\\4\end{pmatrix}$$Zur Angabe des Ergebnisses wählen wir einen etwas "hübscheren" Ankerpunkt, der ebenfalls im Schnitt liegt:

$$A\cap H=\left\{\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}\in\mathbb R^4\;\Bigg|\;\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-6\\0\\0\end{pmatrix}+u\begin{pmatrix}0\\1\\11\\6\end{pmatrix}+v\begin{pmatrix}1\\0\\4\\4\end{pmatrix}\;;\;u,v\in\mathbb R\right\}$$