Schnitt von affinen Ebenen bestimmen

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Wir betrachten die folgenden affinen Ebenen \( E_{1}, E_{2} \subset \mathbb{R}^{3} \) :
\( \begin{array}{l} E_{1}:=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right)+\operatorname{Spann}_{\mathbb{R}}\left(\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right)\right), \\ E_{2}:=\left\{\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3} \mid z=0\right\} . \end{array} \)
Zeigen Sie, dass \( E_{1} \cap E_{2} \) ein affiner Unterraum von \( \mathbb{R}^{3} \) ist und geben Sie eine Basis des zu \( E_{1} \cap E_{2} \) des assozierten Untervektorraums an.

Problem/Ansatz:

Guten Tag, habe ein wenig Probleme mit der oben genannten Aufgabe.

Wie muss ich hier genau vorgehen? Werde leider aus unserem Skript nicht wirklich schlau.

Vielen Dank :)

Answer 1

Die Elemente von \( E_{1} \cap E_{2} \) sind diejenigen von E₁ für die z=0 (Damit

sie in E₂ sind.) gilt.

Also \( E_{1} \cap E_{2} \) = \( \left(\begin{array}{l} 0 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right)+\operatorname{Spann}_{\mathbb{R}} \left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) \)

Das ist der affine Unterraum zum Punkt (0;2;0) mit assoziierten Untervektorraum

\(\operatorname{Spann}_{\mathbb{R}} \left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) \).

Und deshalb ist \( \left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) \) eine Basis des assoziierten Untervektorraums.