Bestimmen Sie die Bestandsfunktion N(t)=a+(b t+c) · e^{-t}

Question

aufgabe

5. Bestandsfekonstruktion

In einem Revier wird die Änderungsrate des Wolfsbestands durch \( N^{\prime}(t)=(20-20 t) \cdot e^{-t} \) beschrieben (t: Zeit in Jahren, N (t): Bestand an Wölfen). Zu Beginn des Beobachtungszeitraumes betrug der Bestand 40 Wölfe.
a) Bestimmen Sie die Bestandsfunktion \( N(t)=a+(b t+c) \cdot e^{-t} \)

Problem/Ansatz:

Müsste ich nicht hier integrieren? Also das Integral von N(t) bilden ? Ich bekomme es aber nicht hin es zu integrieren kann mir jemand bitte helfen?

Answer 1

\( N^{\prime}(t)=(20-20 t) \cdot e^{-t} \)

\(u´=e^{-t}\)   → \(u=-e^{-t}\)

\(v= 20-20 t\)  →  \(v´=-20\)

\( \int\limits_{}^{}(20-20 t) \cdot e^{-t}\cdot dt=-e^{-t}\cdot(20-20t)  - \int\limits_{}^{}-e^{-t}\cdot(-20)\cdot dt\)

\( \int\limits_{}^{}(20-20 t) \cdot e^{-t}\cdot dt=-e^{-t}\cdot(20-20t)- \int\limits_{}^{}e^{-t}\cdot 20\cdot dt\)

\( \int\limits_{}^{}(20-20 t) \cdot e^{-t}\cdot dt=-e^{-t}\cdot(20-20t)+20\cdot e^{-t}+C \)

Answer 2

Du brauchst nicht integrieren. Leite \( N(t) \) nach \( t \) ab und mache einen Koeffizientenvergleich.

Den Wert für \( a \) bekommst Du aus der Anfangsbedingung.