f'(t) = 0, 2 · (5, 2 − f(t)) -> Wie lautet f(t)?

Question

Aufgabe:

Zu Beginn 2018 waren 3 Mio. Haushalte im Besitz eines Gasgrills.

Entwicklung in Mio. seit 2013: f'(t) = 0, 2 · (5, 2 − f(t))   t = Anzahl vergangener Jahre

Wie lautet f(t)?

Problem/Ansatz:

In der Lösung ist die Funktion angegeben als f(t) = −5,98 · e^−0,2x + 5, 2

Mein Problem bei dieser Aufgabe ist vor allem das f(t) in der Ableitungsfunktion.

Answer 1

Aloha :)

$$f'(t)=0,2\,(\,5,2-f(t)\,)=1,04-0,2f(t)$$

Wir lassen zunächst den Summand \(1,04\) weg und lösen die verbliebene homogene Gleichung:$$\left.f'_0(t)=-0,2\, f_0(t)\quad\right|\quad:f_0(t)$$$$\left.\frac{f'_0(t)}{f_0(t)}=-0,2\quad\right|\quad\text{beide Seiten integrieren}$$$$\left.\ln\left|f_0(t)\right|=-0,2t+c_1\quad\right|\quad c_1=\text{const.}\quad;\quad e^{\cdots}$$$$\left.\left|f_0(t)\right|=e^{-0,2t+c_1}=e^{-0,2t}\, e^{c_1}\quad\right.$$Wir setzen noch \(c:=e^{c_1}>0\), sodass$$|f_0(t)|=c\, e^{-0,2t}\quad;\quad c\in\mathbb{R^{>0}}$$Die Betragsstriche fallen weg, wenn wir auch \(c<0\) zulassen. Außerdem haben wir in der Rechnung durch \(f_0(t)\) dividiert, sodass wir den Fall \(f_0(t)=0\) bzw. \(c=0\) noch explizit prüfen müssen. Tatsächlich ist \(f_0(t)=0\) eine Lösung der homogenen Differentialgleichung. Daher können wir für \(c\) alle reellen Werte zulassen:$$\underline{f_0(t)=c\, e^{-0,2t}}\quad;\quad c\in\mathbb R$$

Mit dieser Lösung gehen wir nun in die ursprüngliche Differentialgleichung rein, lassen aber zu, dass die Konstante \(c\) nun eine Funktion von \(t\) ist, also \(c=c(t)\):$$\left.f'(t)=1,04-0,2\,f(t)\quad\right|\quad f_0(t)\text{ für }f(t)\text{ einsetzen}$$$$\left.\left(c(t)\, e^{-0,2t}\right)'=1,04-0,2\, c(t)\, e^{-0,2t}\quad\right|\quad\text{links ableiten}$$$$\left.c'(t)\, e^{-0,2t}-0,2\, c(t)\, e^{-0,2t}=1,04-0,2\,c(t)\,e^{-0,2t}\quad\right|\quad+0,2\,c(t)\, e^{-0,2t}$$$$\left.c'(t)\, e^{-0,2t}=1,04\quad\right|\quad\cdot e^{0,2t}$$$$\left.c'(t)=1,04\, e^{0,2t}\quad\right|\quad\text{integrieren}$$$$\left.c(t)=\frac{1,04}{0,2}\, e^{0,2t}+C=\underline{5,2\,e^{0,2t}+C}\quad\right|\quad C\in\mathbb{R}$$

Wir setzen \(c(t)\) in die homogene Lösung \(f_0(t)\) ein und erhalten als allgemeine Lösung:$$f(t)=\left(5,2\, e^{0,2t}+C\right)\, e^{-0,2t}=\underline{5,2+C\, e^{-0,2t}}$$Die Konstante \(C\) erhalten wir aus der Angeabe, dass im Jahr 2018, also \(t=5\) Jahre nach Beginn der Gültigkeit der Gleichung im Jahr 2013, drei Mio. Haushalte einen Gasgrill besaßen, d.h. \(f(5)=3\). Die Forderung lautet also:$$\left.3\stackrel{!}{=}f(5)=5,2+C\, e^{-0,2\cdot 5}=5,2+C\, e^{-1}\quad\right|\quad-5,2$$$$\left.-2,2=C\, e^{-1}\quad\right|\quad\cdot e$$$$C=-2,2\, e\approx-5,9802$$Damit haben wir die gesuchte Funktion komplett:$$\boxed{f(t)=5,2-5,9802\, e^{-0,2t}}$$

Comments

Hallo Stephan,

deine Antworten sind für mich immer wieder eine Fundgrube für interessante Latex-Codes :-)

Gruß Wolfgang

Answer 2

y' = 0.2·(5.2 - y)
5·y' = (5.2 - y)
5·y' / (5.2 - y) = 1
-5·(-y') / (5.2 - y) = 1

Beide Seiten integrieren
-5·LN(5.2 - y) = x + C
LN(5.2 - y) = -0.2·(x + C)
LN(5.2 - y) = -0.2·x + C2
5.2 - y = e^(-0.2·x + C2)
- y = e^(-0.2·x + C2) - 5.2
y = 5.2 - e^(-0.2·x + C2)

C2 aus Anfangsbedingung ermitteln
y(5) = 5.2 - e^(-0.2·5 + C2) = 3 → C2 = LN(2.2) + 1

Endgültige Funktion aufstellen und vereinfachen
y = 5.2 - e^(-0.2·x + LN(2.2) + 1)
y = 5.2 - e^(1 - 0.2·x)·e^(LN(2.2))
y = 5.2 - 2.2·e^(1 - 0.2·x)