Berechnen Sie eine Stammfunktion \( F \) von \( f \) mit dem Formansatz
\( F(x)=e^{-0,5 \cdot x} \cdot\left(a x^{2}+b x+c\right) \)
Dann bilde hier mal F'(x) . Da bekomme ich mit der Produktregel
und anschließend e^(-0,5x) ausklammern
\( F(x)=e^{-0,5 \cdot x} \cdot\left(\frac{-a}{2} x^{2}+(2a-0,5b) \cdot x+(b-0,5c)\right) \)
Damit das mit deiner gegebenen Funktion übereinstimmt, muss gelten
-a/2 = -2 und 2a-0,5b=4 und b-0,5c = 4
Das gibt a=4 und b=8 und c=8 .
Also sehen alle Stammfunktionen so aus
\( F(x)=e^{-0,5 \cdot x} \cdot\left(4 x^{2}+8x+8\right) + k \) mit k∈ℝ.
Eine wäre also die mit k=0.
Eine mit G(-2)=e bekommst du durch
\( G(x)=e^{-0,5 \cdot (-2)} \cdot\left(4 \cdot (-2)^{2}+8 \cdot(-2)+8\right) + k = e\)
<=> e * 8 + k = e <=> k= -7e, also
\( G(x)=e^{-0,5 \cdot x} \cdot\left(4 x^{2}+8x+8\right) -7e \)
