Zeigen Sie das Y={x Element K^n |Ax=b} ein affiner Unterraum des affinen Raumes K^n ist

Question

Aufgabe:

Für eine feste Matrix A∈ M(n; K) und einen festen Vektor b∈ Kⁿ betrachten wir das lineare Gleichungssystem

Ax=b

Zeigen Sie: Es ist

Y={x∈ Kⁿ | Ax=b}

ein affiner Unterraum des affinen Raumes Kⁿ . Wenn das obige Gleichungssystem eine Lösung besitzt, dann ist die Dimension von Y gleich n-r, wobei r den Rang der Matrix A bezeichnet.

Problem/Ansatz:

Ich muss leider ehrlich gestehen, ich beiße mir an der Aufgabe leider komplett die Zähne aus. Ich versteh einfach nicht wie mir der letzte Satz unter anderem helfen soll. So grundsätzlich meine ich auch verstanden zu haben wie man auf denn Rang einer Matrix kommt.

Beispiel: Matrix A=\( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \) hat denn Rang 2 da in der letzen Zeile nur "0" stehen.

Aber das hilft mir leider nicht. Steh da komplett auf dem Schlauch und hoffe auf eure Hilfe damit ich die Aufgabe verstehe.

Danke

GerryF

Answer 1

Du musst also zeigen:  Es gibt einen Vektor v ∈ K^n  und

einen Unterraum U des ∈ K^n  mit

Y = v + U , d.h. für alle

y∈Y gibt es ein u∈U mit y = v+u.

Da das Gl.System lösbar ist, gibt es ein z∈K^n mit

A*z=b  .

1. Fall:   Das Gl.system ist eindeutig lösbar, also

ist Y = {z} = z + 0 wobei 0 der Nullraum, also der

Unterraum von K^n ist, der nur aus der 0 besteht.

Der ist 0-dimensional und bei eindeutiger Lösbarkeit

ist ja r=Rang(A)=n, also n-r = 0. Das passt.

2. Fall:  mehrere Lösungen:.  Sei also w eine

weitere Lösung des Gl.system . Dann gilt also

A*z=b    und  A*w=b

==>   A*(z-w) = 0

Also ist z-w ein Element des homogenen Gleichungssystems

A*x =0 und das ist bekanntlich ein Unterraum von K^n mit

der dim = n - Rang(A) .                q.e.d.