Aloha :)
Da die Summe endlich ist, können wir die Ableitung unter das Summenzeichen ziehen:$$0\stackrel!=g'(x)=\sum\limits_{k=0}^n\left(a_kx^{2k}\right)'=\sum\limits_{k=1}^n2k\,a_kx^{2k-1}=\sum\limits_{k=0}^{n-1}2(k+1)\,a_kx^{2k+1}$$$$\phantom{0}=x\sum\limits_{k=0}^{n-1}2(k+1)\,a_kx^{2k}=x\left(2a_0+\sum\limits_{k=1}^{n-1}2(k+1)\,a_kx^{2k}\right)$$Wegen \(a_k>0\) und \(x^{2k}\ge0\) ist die Summe sicher \(\ge0\). Da auch \(a_0>0\) ist, wird der Ausdruck genau dann \(0\), wenn \(x=0\) ist. Daher ist \(x=0\) die einzige Nullstelle der ersten Ableitung.
Die zweite Ableitung können wir nun mit der Produktregel sofort hinschreiben:
$$g''(x)=\left(2a_0+\sum\limits_{k=1}^{n-1}2(k+1)\,a_kx^{2k}\right)+x\left(2a_0+\sum\limits_{k=1}^{n-1}2(k+1)\,a_kx^{2k}\right)'$$Ohne die Ableitung des zweiten Summanden auszurechnen, ist wegen des Faktors \(x\) klar, dass diese bei \(x=0\) verschwindet. Es ist:$$g''(0)=2a_0>0\quad\implies\quad\text{Minimum}$$Die Funktion \(g(x)\) hat ein einziges Extermum, es ist ein globales Minimum bei \((0|0)\).
