Zeige, dass die folgende Funktion genau einen Extrempunkt besitzt

Question

Aufgabe:

Es sei n ∈ ℕ, a_k > 0 für alle k ∈ {0,...,n} und der Definitionsbereich ℝ gegeben. Zeige, dass die folgende Funktion genau einen Extrempunkt besitzt und gebe diesen an:

g(x) = $\sum\limits_{k=0}^{n}{a}$_kx^2k

Ich komme bei dieser Aufgabe leider nicht weiter, kann mir jemand weiterhelfen?

Answer 1

Aloha :)

Da die Summe endlich ist, können wir die Ableitung unter das Summenzeichen ziehen:$$0\stackrel!=g'(x)=\sum\limits_{k=0}^n\left(a_kx^{2k}\right)'=\sum\limits_{k=1}^n2k\,a_kx^{2k-1}=\sum\limits_{k=0}^{n-1}2(k+1)\,a_kx^{2k+1}$$$$\phantom{0}=x\sum\limits_{k=0}^{n-1}2(k+1)\,a_kx^{2k}=x\left(2a_0+\sum\limits_{k=1}^{n-1}2(k+1)\,a_kx^{2k}\right)$$Wegen $a_k>0$ und $x^{2k}\ge0$ ist die Summe sicher $\ge0$. Da auch $a_0>0$ ist, wird der Ausdruck genau dann $0$, wenn $x=0$ ist. Daher ist $x=0$ die einzige Nullstelle der ersten Ableitung.

Die zweite Ableitung können wir nun mit der Produktregel sofort hinschreiben:

$$g''(x)=\left(2a_0+\sum\limits_{k=1}^{n-1}2(k+1)\,a_kx^{2k}\right)+x\left(2a_0+\sum\limits_{k=1}^{n-1}2(k+1)\,a_kx^{2k}\right)'$$Ohne die Ableitung des zweiten Summanden auszurechnen, ist wegen des Faktors $x$ klar, dass diese bei $x=0$ verschwindet. Es ist:$$g''(0)=2a_0>0\quad\implies\quad\text{Minimum}$$Die Funktion $g(x)$ hat ein einziges Extermum, es ist ein globales Minimum bei $(0|0)$.

Answer 2

Bei allen Summanden handelt es sich um eine nach oben geöffnete Parabel 2k. Grades mit dem Tiefpunkt im Ursprung.

Die Summe dieser Funktionen hat also auch nur einen Tiefpunkt im Ursprung.