Aloha :)
Die lineare Näherung (Tangente) einer Funktion \(f(x)\) mit 1 Variablen an der Stelle \(x_0\) ist:$$f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)$$Die lineare Näherung (Tangentialebene) einer Funktion \(F(x;y;z)\) mit 3 Variablen lautet:$$F(x;y;z)\approx F(x_0;y_0;z_0)+\operatorname{grad}F(x_0;y_0;z_0)\cdot\left(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}x_0\\y_0\\z_0\end{pmatrix}\right)$$
Hier sind nun für \((x;y;z)\in\mathbb (R^+)^3\) vorgegeben:$$F(x;y;z)=\sin(2\pi x)e^{yz}+x\sqrt{\frac zy}\quad;\quad F(x;y;z)\approx 1\quad;\quad (x_0;y_0;z_0)=(1;2;2)$$
Zum Einsetzen in die lineare Näherung fehlt uns noch der Gradient:$$\frac{\partial F}{\partial x}=2\pi\cos(2\pi x)e^{yz}+\sqrt{\frac zy}\implies\frac{\partial F(1;2;2)}{\partial x}=1+2\pi\,e^4$$$$\frac{\partial F}{\partial y}=z\sin(2\pi x)e^{yz}-\frac{x}{2y}\sqrt{\frac zy}\implies\frac{\partial F(1;2;2)}{\partial y}=-\frac14$$$$\frac{\partial F}{\partial z}=y\sin(2\pi x)e^{yz}+\frac{x}{2z}\sqrt{\frac zy}\implies\frac{\partial F(1;2;2)}{\partial z}=\frac14$$
Damit haben wir alles gesammelt, was wir zum Einsetzen brauchen:$$1=\underbrace{F(1;2;2)}_{=1}+\begin{pmatrix}1+2\pi e^4\\[1ex]-\frac14\\[1ex]\frac14\end{pmatrix}\cdot\left(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\right)\quad\implies$$$$0=(1+2\pi\,e^4)(x-1)-\frac14(y-2)+\frac14(z-2)\quad\implies$$$$0=4(1+2\pi\,e^4)x-4(1+2\pi\,e^4)-y+z\quad\implies$$$$z=-4(1+2\pi\,e^4)\,x+y+4(1+2\pi\,e^4)$$
