Tangentialebene bestimmen mit Funktion und Ebene (identisch , Parallelität)

Question

Aufgabe:

Ich habe eine Funktion gegeben:

\( f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \quad f(x, y) = 2(x^2 + y^2) \)

Und dazu einen Parameter \(\gamma \in \mathbb{R}\) der Ebene

\(E: 8x + 8y + z = \gamma \)

a) In welchen Punkten \(x_{0},y_{0}\) ist die Tangentialebene an den Graphen von \(f \) parallel zur Ebene \(E \) ?

b) Für welche Werte \(\gamma \) sind Tangentialebene und Ebene E identisch?

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht genau ob ich die Aufgaben Richtig verstanden habe an der vorausgensweise.

Bei a) glaube ich sollte man den gradienten von f bestimmen und dabei die partiellen ableitungen bilden. Weil dann hätte ich als punkte \((4x, 4y) \) raus.

Aber dann bin ich noch verwirrt wie genau man die Tangentialebene bestimmt. Und zum Schluss soll ja noch die Parallelität zur Ebene bestimmt werden.

Und bei b) sollte man es doch nur noch gleich setzten?

Answer 1

Die Tangentialebene in Normalenform an der Stelle \((x_0,y_0)\) lautet allgemein:

\(z=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\cdot (x-x_0)+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\cdot (y-y_0)\)

Wende das an und vergleiche mit der Ebene \(E\). Das ist dann reine lineare Algebra: zwei Ebenen sind parallel, wenn ihre Normalenvektoren parallel sind und identisch, wenn es zusätzlich noch einen gemeinsamen Punkt gibt.