partielle Ableitung 1.Ordnung | Gradienten der Funktion am Punkt P0| Tangentialebene am Funktionsgraph P0

Question

Servus Leute, ich muss eine Abgabe machen und will wissen ob meine Lösung korrekt ist & bräuchte Hilfe bei der letzten Teilaufgabe

$z=f(x, y)=\ln \left(x^{3}+y^{2}\right)$

1) alle partiellen Ableitungen 1.Ordnung für die gegebene Funktion:

Lösung: 

$$fx(x,y)\frac{3^{2}}{(x^3+y^2)}$$

$$fy(x,y)\frac{2y}{(x^3+y^2)}$$

2) Gradianten im Arbeitspunkt P0(2,1)

$\nabla f(x, y)=\left(\begin{array}{l}{f x} \\ {f y}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\frac{3 x^{2}}{\left(x^{3}+y^{2}\right)}} \\ {\frac{2 y}{\left(x^{3}+y^{2}\right)}}\end{array}\right)$

$\nabla f(2,1)=\left(\begin{array}{c}{\frac{3 \cdot 2^{2}}{2^{3}+1^{2}}} \\ {\frac{2 \cdot 1}{2^{3}+1^{2}}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\frac{4}{3}} \\ {\frac{2}{9}}\end{array}\right)$

3) Hier brauch ich eure Hilfe 

Wie lautet die Gleichung der Tangentialebene an der Funktionsgraphen in P0(2,1) 

Comments

Andersrum gefragt: Wie schreibt man eine Ebenengleichung wenn Ortsvektor und die beiden Spannvektoren bekannt sind? Das kannst Du sicher.

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Bei der ersten Ableitung ist übrigens der Zähler falsch.

Answer 1

Hallo,

es ist $\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{3x^2}{x^3+y^2}$ und $\dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{2y}{y^2+x^3}$, demnach der Gradient:$$\text{grad}f(2,1)=\begin{pmatrix} \frac{1}{3}\\\frac{2}{9} \end{pmatrix}$$ Die Tangentialebene ist gerade das Taylorpolynom ersten Grades:$$T(x,y)=f(2,1)+f_x(2,1)(x-2)+f_y(2,1)(y-1)=2\ln(3)+\frac{1}{3}(x-1)+\frac{2}{9}(y-1)$$